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已知正数a，b，c满足：ab+bc+ca=1．（1）求证：（a+b+c）2≥3；（2）求abc+bac+cab的最大值．-高二数学

题目简介

已知正数a，b，c满足：ab+bc+ca=1．（1）求证：（a+b+c）2≥3；（2）求abc+bac+cab的最大值．-高二数学

题目详情

已知正数a，b，c满足：ab+bc+ca=1．
（1）求证：（a+b+c）2≥3；（2）求a
bc
+b
ac
+c
ab
的最大值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵a2+b2+c2≥ab+bc+ca
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥3（ab+bc+ca）=3
当且仅当a=b=c取等号，故原不等式成立；
（2）∵a
bc
≤a×class="stub"b+c
2
=class="stub"ab+ac
2

b
ac
≤b×class="stub"a+c
2
=class="stub"ab+bc
2

c
ab
≤c×class="stub"a+b
2
=class="stub"ac+bc
2

∴a
bc
+b
ac
+c
ab
≤ab+bc+ca=1
当且仅当a=b=c取等号，
∴a
bc
+b
ac
+c
ab
的最大值为1．

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