如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．

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（Ⅰ）求证：BD⊥平面POA；
（Ⅱ）记三棱锥P-ABD体积为V₁，四棱锥P-BDEF体积为V₂．求当PB取得最小值时的V₁：V₂值．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）证明：在菱形ABCD中，∵BD⊥AC，∴BD⊥AO．
∵EF⊥AC，∴PO⊥EF，
∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO⊂平面PEF，
∴PO⊥平面ABFED，
∵BD⊂平面QBFED，∴PO⊥BD．
∵AO∩PO=O，所以BD⊥平面POA．
（Ⅱ）连接OB，设AO∩BD=H．
由（Ⅰ）知，AC⊥BD．
∵∠DAB=60°，BC=4，
∴BH=2，CH=2

．
设OH=x（0＜x＜2

）．
由（Ⅰ）知，PO⊥平面ABFED，故△POB为直角三角形．
∴PB2=OB2+PO2=（BH2+OH2）+PO2，
∴PB2=2（x-

）2+10．
当x=

时，PB取得最小值，此时O为CH中点．
∴S△CEF=class="stub"1

S△BCD，
∴S梯形BDEF=class="stub"3

S△BCD=class="stub"3

S△ABD，
∴

S△ABD

S梯形BDEF

=class="stub"4

∴当PB取得最小值时，V1：V2的值为4：3．

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如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．

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