已知△AOB,将△AOB绕O点旋转到△COD位置,使C点落在OB边上,连接AC、BD.(1)若∠AOB=90°(如图1),小亮发现∠BAC=∠BDC,请你证明这个结论;(2)若∠AOB=60°(如图2

题目简介

已知△AOB,将△AOB绕O点旋转到△COD位置,使C点落在OB边上,连接AC、BD.(1)若∠AOB=90°(如图1),小亮发现∠BAC=∠BDC,请你证明这个结论;(2)若∠AOB=60°(如图2

题目详情

已知△AOB,将△AOB绕O点旋转到△COD位置,使C点落在OB边上,连接AC、BD.
(1)若∠AOB=90°(如图1),小亮发现∠BAC=∠BDC,请你证明这个结论;
(2)若∠AOB=60°(如图2),小亮发现的结论是否仍然成立?说明理由;
(3)若∠AOB为任意角α(如图3),小亮发现的结论还成立吗?说明理由;
题型:解答题难度:中档来源:湖南省竞赛题

答案

(1)证明:∵将△AOB绕O点旋转到△COD位置,
∴OA=OC,OB=OD,∠BAO=∠DCO,
∵∠AOB=∠COD=90°,
∴∠CAO=∠OCA=45°,∠ODB=∠OBD=45°,
∴∠BAC=∠BAO﹣∠CAO,∠BDC=∠DCO﹣∠DBO,
∴∠BAC=∠BDC.
(2)解:仍成立,理由是:将△AOB绕O点旋转到△COD位置,
∴OA=OC,OB=OD,∠BAO=∠DCO,
∵∠AOB=∠COD=60°,
∴△ACO、△OBD是等边三角形,
∴∠OCA=∠OBD=∠OAC=60°,
∴∠BAC=∠BAO﹣∠CAO=∠BAO﹣60°,∠BDC=∠DCO﹣∠DBO=∠DCO﹣60°,
∴∠BAC=∠BDC.
(3)解:仍成立,理由是:将△AOB绕O点旋转到△COD位置,
∴OA=OC,OB=OD,∠BAO=∠DCO,
∴∠CAO=∠ACO,∠OBD=∠ODB,
∵∠CAO+∠ACO+∠AOB=180°,∠OBD+∠ODB+∠BOD=180°,
∴∠CAO=∠OBD,
∵∠BAC=∠BAO﹣∠CAO,∠BDC=∠DCO﹣∠DBO,
∵∠BAO=∠DCO,
∴∠BAC=∠BDC.

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