如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1,ACC1A1均为正方形,∠BAC=90°,点D是棱B1C1的中点,(Ⅰ)求证:A1D⊥平面BB1C1C;(Ⅱ)求证:AB1∥平面A1DC;(Ⅲ)

题目简介

如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1,ACC1A1均为正方形,∠BAC=90°,点D是棱B1C1的中点,(Ⅰ)求证:A1D⊥平面BB1C1C;(Ⅱ)求证:AB1∥平面A1DC;(Ⅲ)

题目详情

如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1,ACC1A1均为正方形,∠BAC=90°,点D是棱B1C1的中点,
(Ⅰ)求证:A1D⊥平面BB1C1C;
(Ⅱ)求证:AB1∥平面A1DC;
(Ⅲ)求二面角D-A1C-A的余弦值。
题型:解答题难度:中档来源:北京期末题

答案

(Ⅰ)证明:因为侧面均为正方形,
所以
所以是直三棱柱,
因为
又因为
所以
因为
所以A1D⊥平面BB1C1C;
(Ⅱ)证明:连结于点O,连结OD,
因为为正方形,所以O为AC1中点,

所以
因为
所以AB1∥平面A1DC;
(Ⅲ)解:因为侧面均为正方形,

所以两两互相垂直,
如图所示建立直角坐标系A-xyz,
设AB=1,


设平面的法向量为
则有

又因为
所以平面的法向量为

因为二面角D-A1C-A是钝角,
所以,二面角D-A1C-A的余弦值为

更多内容推荐