如图1,在边长为3的正三角形ABC中,E,F,P分别是AB,AC,BC边上的点,满足AE=CF=CP=1。今将△BEP,△CFP分别沿EP,FP向上折起,使边BP与边CP所在的直线重合(如图2),B,

题目简介

如图1,在边长为3的正三角形ABC中,E,F,P分别是AB,AC,BC边上的点,满足AE=CF=CP=1。今将△BEP,△CFP分别沿EP,FP向上折起,使边BP与边CP所在的直线重合(如图2),B,

题目详情

如图1,在边长为3的正三角形ABC中,E,F,P分别是AB,AC,BC边上的点,满足AE=CF=CP=1。今将△BEP,△CFP分别沿EP,FP向上折起,使边BP与边CP所在的直线重合(如图2),B,C折后的对应点分别记为B1,C1
(Ⅰ)求证:PF⊥平面B1EF;
(Ⅱ)求AB1与平面AEPF所成的角的正弦值。
题型:解答题难度:中档来源:浙江省模拟题

答案

(Ⅰ)证明:连接EF,
由已知得∠EPF=60°,且FP=1,EP=2,
故PF⊥EF,
又FC1=PB1,
故PF⊥B1F,
因EF∩B1F=F,
故PF⊥平面B1EF;
(Ⅱ)解:连接AB1,作B1O⊥EF于O,
由(Ⅰ)知PF⊥平面B1EF,而PF平面AEPF,
故平面B1EF⊥平面AEPF,
∵平面B1EF∩平面AEPF=EF,
∴B1O⊥平面EPF,
∴∠B1AO就是AB1与平面EFP所成的角,
∵AE∥PF,
∴AE⊥EB1,
∵AE=1,EB1=2,

在△B1EF中,B1E=2,B1F=EF=

则B1O=B1F·sin∠B1FE=

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