如图,在Rt△ABC中,AB=BC=4,点E在线段AB上,过点E作EF∥BC交AC于点F,将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合),使得∠PEB=30°。(1)求证:EF⊥PB;(2)试问

题目简介

如图,在Rt△ABC中,AB=BC=4,点E在线段AB上,过点E作EF∥BC交AC于点F,将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合),使得∠PEB=30°。(1)求证:EF⊥PB;(2)试问

题目详情

如图,在Rt△ABC中,AB=BC=4,点E在线段AB上,过点E作EF∥BC交AC于点F,将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合),使得∠PEB=30°。
(1)求证:EF⊥PB;
(2)试问:当点E在何处时,四棱锥P-EFCB的侧面PEB的面积最大?并求此时四棱锥P-EFCB的体积。
题型:解答题难度:中档来源:福建省模拟题

答案

解:(1)在Rt△ABC中,∵EF∥BC,AB⊥BC,
∴EF⊥AB
∴EF⊥EB,EF⊥EP
又∵EB∩EP=E
∴EF⊥平面PEB
PB平面PEB,
∴EF⊥PB。
(2)由(1)知EF⊥平面PEB,
又∵EF平面BCFE
∴平面BCFE⊥平面PEB
又∵平面BCFE∩平面PEB=BE,
在平面PEB内,过P点作PD⊥BE于D,
∴PD⊥平面BCFE,
设PE=x,x∈(0,4),则BE=4-x
在Rt△PED中,∵∠PEB=30°,


 
当且仅当x=2.即E为AB的中点时,△PEB面积最大
此时
易得S梯形EFCB=
S梯形EFCB×

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