如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是矩形,AB∥EF,∠EAB=90°,AB=2,AD=AE=EF=1,平面ABFE⊥平面ABCD。(1)求证:AF⊥平面BCF;(2)求二面角B-FC-D的

题目简介

如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是矩形,AB∥EF,∠EAB=90°,AB=2,AD=AE=EF=1,平面ABFE⊥平面ABCD。(1)求证:AF⊥平面BCF;(2)求二面角B-FC-D的

题目详情

如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是矩形,AB∥EF,∠EAB=90°,AB=2,AD=AE=EF=1,平面ABFE⊥平面ABCD。
(1)求证:AF⊥平面BCF;
(2)求二面角B-FC-D的大小。
题型:解答题难度:中档来源:模拟题

答案

解:(1)∵平面ABFE⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,
即CB⊥AB,平面ABFE∩平面ABCD=AB,
∴CB⊥平面ABFE,而AF平面ABFE,
∴CB⊥AF,
又∵AB∥EF,∠EAB=90°,AB=2,AD=AE=EF=1,

即AB2=AF2+BF2,
∴AF⊥FB
而CB∩FB=B
∴AF⊥平面BCF。
(2)∵平面ABFE⊥平面ABCD,∠EAB=90°,
即EA⊥AB,平面ABFE∩平面ABCD=AB,
∴EA⊥平面ABCD,而AD平面ABCD,
∴EA⊥AD,
过点A作AG⊥DE,交DE于G,如图
又∵BA⊥EA,BA⊥AD,EA∩AD=A,
∴BA⊥平面ADE,
∵CD∥BA,
∴CD⊥平面ADE,
而AC平面ADE,
∴CD⊥AE,
又DE∩CD=D,
∴AG⊥平面CDEF
由(1)知,AF⊥平面BCF,
∴∠FAG与二面角B-FC-D的平面角互补
在Rt△EAD中,∵EA=AD=1,AG⊥DE,

连接FG,由EF∥AB知,EF⊥平面ADE,
∴EF⊥DE,

又由(1)知,
在△AFG中,

∴∠FAG=60°,
于是二面角B-FC-D的大小为120°。

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