三棱锥P-ABC中,侧面PAC与底面ABC垂直,PA=PB=PC=3,(Ⅰ)求证AB⊥BC;(Ⅱ)如果AB=BC=2,求侧面PBC与侧面PAC所成二面角的大小。-高三数学

题目简介

三棱锥P-ABC中,侧面PAC与底面ABC垂直,PA=PB=PC=3,(Ⅰ)求证AB⊥BC;(Ⅱ)如果AB=BC=2,求侧面PBC与侧面PAC所成二面角的大小。-高三数学

题目详情

三棱锥P-ABC中,侧面PAC与底面ABC垂直,PA=PB=PC=3,
(Ⅰ)求证AB⊥BC;
(Ⅱ)如果AB=BC=2,求侧面PBC与侧面PAC所成二面角的大小。
题型:解答题难度:中档来源:高考真题

答案

(Ⅰ)证明:取AC中点O,连结PO、BO,
∵PA=PC,∴PO⊥AC,
又∵侧面PAC⊥底面ABC,
∴PO⊥底面ABC,
又PA=PB=PC,
∴AO=BO=CO,
∴△ABC为直角三角形,
∴AB⊥BC。
(Ⅱ)解:作OD⊥PC于D,连结BD,
∵AB=BC=2,AB⊥BC,AO=CO,
∴BO⊥AC,侧面PAC⊥底面ABC,
∴BO⊥侧面PAC,∴BD⊥PC,
∴∠BDO为侧面PBC与侧面PAC所成二面角的平面角,
∵AB=BC=2,AB⊥BC,AO=CO,
∴BO=CO=,PO=

∴tg∠BDO=
∴∠BDO=
即侧面PBC与侧面PAC所成二面角为

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