首页 > 已知数列{an}的前n项和Sn是二项式（1+2x）2n（n∈N*）展开式中含x奇次幂的系数和．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设f（n）=49an+12，求cn=f（0）+f（1n）+f（2n）

已知数列{an}的前n项和Sn是二项式（1+2x）2n（n∈N*）展开式中含x奇次幂的系数和．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设f（n）=49an+12，求cn=f（0）+f（1n）+f（2n）

题目简介

已知数列{an}的前n项和Sn是二项式（1+2x）2n（n∈N*）展开式中含x奇次幂的系数和．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设f（n）=49an+12，求cn=f（0）+f（1n）+f（2n）

题目详情

已知数列{an}的前n项和Sn是二项式（1+2x）2n（n∈N*）展开式中含x奇次幂的系数和．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设f（n）=
4
9an+12
，求cn=f（0）+f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n
n
），求
1
c1c2
+
1
c2c3
+…+
1
cncn+1
的值．
题型：解答题难度：中档来源：襄阳模拟

答案

（1）记（1+2x）2n=a0+a1x+a2x2+…+a2n-1x2n-1+a2nx2n
令x=1得：32n=a0+a1+a2+…+a2n-1+a2n
令x=-1得：1=a0-a1+a2-…-a2n-1+a2n
两式相减得：32n-1=2（a1+a3+…+a2n-1）
∴Sn=class="stub"1
2
（9n-1）（4分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=4×9n-1当n=1时，a1=S1=4，适合上式
∴an=4×9n-1（n∈N）    （6分）
（2）f（n）=class="stub"4
4×9n+12
=class="stub"1
9n+3

注意到f（n）+f（1-n）=class="stub"1
9n+3
+class="stub"1
91-n+3
=class="stub"1
9n+3
+
9n
9+3×9n
=class="stub"1
3
    （8分）
cn=f（0）+f（class="stub"1
n
）+f（class="stub"2
n
）+…+f（class="stub"n
n
），
可改写为cn=f（class="stub"n
n
）+f（class="stub"n-1
n
）+…+f（class="stub"1
n
）+f（0）
∴2cn=[f（0）+f（class="stub"n
n
）]+[f（class="stub"1
n
）+f（class="stub"n-1
n
）]+…+[f（class="stub"n-1
n
）+f（class="stub"1
n
）]+[f（class="stub"n
n
）+f（0）]
故cn=class="stub"n+1
6
，即f（0）+f（class="stub"1
n
）+f（class="stub"2
n
）+…+f（class="stub"n
n
）=class="stub"n+1
6
   （8分）
∴class="stub"1
cncn+1
=class="stub"36
(n+1)(n+2)
=36×（class="stub"1
n+1
-class="stub"1
n+2
）
class="stub"1
c1c2
+class="stub"1
c2c3
+…+class="stub"1
cncn+1

=36×[（class="stub"1
2
-class="stub"1
3
）+（class="stub"1
3
-class="stub"1
4
）+…+（class="stub"1
n+1
-class="stub"1
n+2
）    （12分）
=36×（class="stub"1
2
-class="stub"1
n+2
）]=18-class="stub"36
n+2
（14分）

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