(本小题15分)已知,是实数,方程有两个实根,,数列满足,,(Ⅰ)求数列的通项公式(用,表示);(Ⅱ)若,,求的前项和.-数学

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(本小题15分)已知,是实数,方程有两个实根,,数列满足,,(Ⅰ)求数列的通项公式(用,表示);(Ⅱ)若,,求的前项和.-数学

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(本小题15分)已知是实数,方程有两个实根,数列满足
(Ⅰ)求数列的通项公式(用表示);
(Ⅱ)若,求的前项和.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

,

方法一:
(Ⅰ)由韦达定理知,又,所以

整理得
,则.所以是公比为的等比数列.
数列的首项为:

所以,即.所以
①当时,变为.整理得,.所以,数列成公差为的等差数列,其首项为.所以

于是数列的通项公式为
;……………………………………………………………………………5分
②当时,



整理得

所以,数列成公比为的等比数列,其首项为.所以
于是数列的通项公式为.………………………………………………10分
(Ⅱ)若,则,此时.由第(Ⅰ)步的结果得,数列的通项公式为,所以,的前项和为


以上两式相减,整理得
所以.……………………………………………………………………………15分
方法二:
(Ⅰ)由韦达定理知,又,所以

特征方程的两个根为
①当时,通项

解得.故 .……………………………………………………5分
②当时,通项.由

解得.故
.…………………………………………………………10分
(Ⅱ)同方法一.

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