首页 > 在数列{an}中，a1=1，an+1=（1+1n）an+n+12n．（1）求数列{an}的前n项和Sn；（2）在数列{an}中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出满足条件的所有项；若不存在，说明

在数列{an}中，a1=1，an+1=（1+1n）an+n+12n．（1）求数列{an}的前n项和Sn；（2）在数列{an}中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出满足条件的所有项；若不存在，说明

题目简介

在数列{an}中，a1=1，an+1=（1+1n）an+n+12n．（1）求数列{an}的前n项和Sn；（2）在数列{an}中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出满足条件的所有项；若不存在，说明

题目详情

在数列{an}中，a1=1，an+1=（1+
1
n
）an+
n+1
2n
．
（1）求数列{an}的前n项和Sn；
（2）在数列{an}中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出满足条件的所有项；若不存在，说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵a1=1，an+1=（1+class="stub"1
n
）an+class="stub"n+1
2n
，
∴an+1=（1+class="stub"1
n
）an+class="stub"n+1
2n
，
an+1=class="stub"n+1
n
an+class="stub"n+1
n
×class="stub"1
2
，
n×an+1=（n+1）an+（n+1）×class="stub"1
2

∴
an+1
n+1
-
an
n
=class="stub"1
2n
，
an
n
-
an-1
n-1
=class="stub"1
2n-1
，
…
a2
2
-
a1
1
=class="stub"1
2
．
等式两边相加，得：
an
n
-
a1
1
=class="stub"1
2
+class="stub"1
4
+class="stub"1
8
+…+class="stub"1
2n-1
=
class="stub"1
2
(1-class="stub"1
2n-1
)
1-class="stub"1
2
=1-class="stub"1
2n-1
，
∴an=2n-class="stub"2n
2n
．
∵Sn=2（1+2+3+…+n）-（class="stub"2×1
21
+class="stub"2×2
22
+…+class="stub"2n
2n
）
=n（n+1）-（class="stub"2×1
21
+class="stub"2×2
22
+…+class="stub"2n
2n
）．
设S=class="stub"2×1
21
+class="stub"2×2
22
+…+class="stub"2n
2n
，①
则class="stub"1
2
S=class="stub"2×1
22
+class="stub"2×2
23
+…+class="stub"2n
2n+1
，②
①-②，得class="stub"1
2
S=1+class="stub"2
22
+class="stub"2
23
+…+class="stub"2
2n
-class="stub"2n
2n+1

=1+
class="stub"1
2
(1-class="stub"1
2n-1
)
1-class="stub"1
2
-class="stub"2n
2n+1

=2-class="stub"1
2n-1
-class="stub"2n
2n+1
，
∴S=4-class="stub"4
2n
-class="stub"2n
2n
．
∴Sn=n（n+1）-4+class="stub"4+2n
2n
．
（2）假设在数列{an}中，存在连续三项ak-1，ak，ak+1（k∈N*，k≥2）成等差数列，
则ak-1+ak+1=2ak，即[2（k-1）-
2(k-1)
2k-1
]+[2（k+1）-
2(k+1)
2k+1
]=2（2k-class="stub"2k
2k
），
即class="stub"3-k
2k
=0，∴k=3．
∴在数列{an}中，有且仅有连续三项a2，a3，a4成等差数列．

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