首页 > 已知a，b，x，y均为正数，且a≠b．（Ⅰ）求证：（a2x+b2y）（x+y）≥（a+b）2，并指出“=”成立的条件；（Ⅱ）求函数f（x）=3x2+91-3x2（0＜x＜13）的最小值，并指出取最小值

已知a，b，x，y均为正数，且a≠b．（Ⅰ）求证：（a2x+b2y）（x+y）≥（a+b）2，并指出“=”成立的条件；（Ⅱ）求函数f（x）=3x2+91-3x2（0＜x＜13）的最小值，并指出取最小值

题目简介

已知a，b，x，y均为正数，且a≠b．（Ⅰ）求证：（a2x+b2y）（x+y）≥（a+b）2，并指出“=”成立的条件；（Ⅱ）求函数f（x）=3x2+91-3x2（0＜x＜13）的最小值，并指出取最小值

题目详情

已知a，b，x，y均为正数，且a≠b．
（Ⅰ）求证：（
a2
x
+
b2
y
）（x+y）≥（a+b）2，并指出“=”成立的条件；
（Ⅱ）求函数f（x）=
3
x2
+
9
1-3x2
（0＜x＜
1
3
）的最小值，并指出取最小值时x的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）∵（
a2
x
+
b2
y
）（x+y）=a2+
ya2
x
+
xb2
y
+b2=a2+b2+（
ya2
x
+
xb2
y
）
≥a2+b2+2
ya2
x
•
xb2
y
=a2+b2+ab=（a+b）2，当且仅当ay=bx时取等号．

（II）∵f（x）=class="stub"3
x2
+class="stub"9
1-3x2
=class="stub"9
3x2
+class="stub"9
1-3x2
=（class="stub"9
3x2
+class="stub"9
1-3x2
）（3x2+1-3x2）
由（I）知，上式≥（3+3）2=36，当且仅当3x2=1-3x2即x2=class="stub"1
6
时等号成立，
∴函数f（x）=class="stub"3
x2
+class="stub"9
1-3x2
（0＜x＜class="stub"1
3
）的最小值36，取最小值时x的值为
6
6
．

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