首页 > 设f（x）=∫10|x2-a2|dx．（1）当0≤a≤1与a＞1时，分别求f（a）；（2）当a≥0时，求f（a）的最小值．-高二数学

设f（x）=∫10|x2-a2|dx．（1）当0≤a≤1与a＞1时，分别求f（a）；（2）当a≥0时，求f（a）的最小值．-高二数学

题目简介

设f（x）=∫10|x2-a2|dx．（1）当0≤a≤1与a＞1时，分别求f（a）；（2）当a≥0时，求f（a）的最小值．-高二数学

题目详情

设f（x）=
∫10
|x2-a2|dx．
（1）当0≤a≤1与a＞1时，分别求f（a）；
（2）当a≥0时，求f（a）的最小值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）0≤a≤1时，
f（a）=
∫10
|x2-a2|dx
=
∫a0
（a2-x2）dx+
∫1a
（x2-a2）dx
=（a2x-class="stub"1
3
x3）
.
a
0
+（
x3
3
-a2x）
.
1
a

=a3-class="stub"1
3
a3-0+0+class="stub"1
3
-a2-
a3
3
+a3
=class="stub"4
3
a3-a2+class="stub"1
3
．
当a＞1时，
f（a）=
∫10
（a2-x2）dx
=（a2x-class="stub"1
3
x3）
.
1
0

=a2-class="stub"1
3
．
∴f（a）=
class="stub"4
3
a3-a2+class="stub"1
3
(0≤a≤1)
a2-class="stub"1
3
(a＞1).

（2）当a＞1时，由于a2-class="stub"1
3
在[1，+∞）上是增函数，故f（a）在[1，+∞）上的最小值是f（1）=1-class="stub"1
3
=class="stub"2
3
．
当a∈[0，1]时，f′（a）=4a2-2a=2a（2a-1），
由f′（a）＞0知：a＞class="stub"1
2
或a＜0，
故在[0，class="stub"1
2
]上递减，在[class="stub"1
2
，1]上递增．
因此在[0，1]上，f（a）的最小值为f（class="stub"1
2
）=class="stub"1
4
．
综上可知，f（x）在[0，+∞）上的最小值为class="stub"1
4
．

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