（理科做）已知函数f（x）=x3+ax+b定义在区间[-1，1]上，且f（0）=f（1）．又P（x1•y1）、Q（x2•y2）是其图象上任意两点（x1≠x2）．（1）求证：f（x）的图象关于点（0，b

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（理科做）已知函数f（x）=x³+ax+b定义在区间[-1，1]上，且f（0）=f（1）．又P（x₁•y₁）、Q（x₂•y₂）是其图象上任意两点（x₁≠x₂）．
（1）求证：f（x）的图象关于点（0，b）成中心对称图形；
（2）设直线PQ的斜率为k，求证：|k|＜2；
（3）若0≤x₁＜x₂≤1，求证：|y₁-y₂|＜1．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）f（0）=f（1），∴b=1+a+b得a=-1．（1分）
f（x）=x3-x+b的图象可由y=x3-x的图象向上（或下）平移b（或-b）个单位二得到．（3分）
又y=x3-x是奇函数，其图象关于原点成中心对称图形，f（x）的图象关于点（0，b）成中心对称图形．（5分）
（2）∵点P（x1，y1）、Q（x2，y2）在f（x）=x3-x+b的图象上，k=

y 1-y 2

x 1-x2

=x2 1-

+x 1x 2-1．（7分）
又x1、x2∈[-1，1]，x1≠x2∵0＜x12+x22+x1x2＜3，从而-1＜x12+x22+x1x2-1＜2
∴|k|=|x12+x22+x1x2-1|＜2 （11分）
（3）∵0≤x1＜x2≤1，且|y1-y2|＜2|x1-x2|=-2（x1-x2），①
又|y1-y2|=|f（x1）-f（x2）|=|f（x1）-f（0）+f（1）-f（x2）|≤|f（x1）-f（0）|+|f（1）-f（x2）|≤2|x1-0|+2|x2-1|=2（x1-0）+2（1-x2）=2（x1-x2）+2②
①+②得2|y1-y2|＜2，故|y1-y2|＜1（14分）

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（理科做）已知函数f（x）=x3+ax+b定义在区间[-1，1]上，且f（0）=f（1）．又P（x1•y1）、Q（x2•y2）是其图象上任意两点（x1≠x2）．（1）求证：f（x）的图象关于点（0，b

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