已知函数f(x)=1x-log21+x1-x(1)求函数f(x)的定义域;(2)讨论函数f(x)的奇偶性;(3)讨论函数f(x)的单调性.-数学

题目简介

已知函数f(x)=1x-log21+x1-x(1)求函数f(x)的定义域;(2)讨论函数f(x)的奇偶性;(3)讨论函数f(x)的单调性.-数学

题目详情

已知函数f(x)=
1
x
-log2
1+x
1-x

(1)求函数f(x)的定义域;
(2)讨论函数f(x)的奇偶性;
(3)讨论函数f(x)的单调性.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由题意知x满足
x≠0
class="stub"1+x
1-x
>0
,解得-1<x<1且x≠0,
则函数的定义域为 (-1,0)∪(0,1). …(4分)
(2)函数的定义域关于原点对称且对定义域中的任意x,
f(-x)=-class="stub"1
x
-log2class="stub"1-x
1+x
=-(class="stub"1
x
-log2class="stub"1+x
1-x
)=-f(x)

所以函数f(x)为奇函数.…(8分)
(3)任取 x1,x2∈(0,1),令 x1<x2 ,
则有
f(x1)-f(x2)=class="stub"1
x1
-log2
1+x1
1-x1
-class="stub"1
x2
+log2
1+x2
1-x2
 
=(class="stub"1
x1
 -class="stub"1
x2
)+[log2(class="stub"2
1-x2
-1)
-log2(class="stub"2
1-x1
-1)]
 
=(
x2-x1
x1x2
)+[log2(class="stub"2
1-x2
-1)
-log2(class="stub"2
1-x1
-1)]

由 x1<x2且 x1,x2∈(0,1),知
x2-x1
x1x2
>0
log2(class="stub"2
1-x2
-1)-log2(class="stub"2
1-x1
-1)>0

故f( x1)-f( x2)>0,即函数f(x)在x∈(0,1)内单调递减,
由(2)知函数f(x)为奇函数,则函数f(x)在(-1,0)内单调递减.…(13分)

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