已知点P(m,n)是位于第一象限,是在直线x+y-1=0上,则使不等式1m+4n≥a恒成立的实数a的取值范围是______-数学

题目简介

已知点P(m,n)是位于第一象限,是在直线x+y-1=0上,则使不等式1m+4n≥a恒成立的实数a的取值范围是______-数学

题目详情

已知点P(m,n)是位于第一象限,是在直线x+y-1=0上,则使不等式
1
m
+
4
n
≥a
恒成立的实数a的取值范围是 ______
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

∵点P(m,n)是位于第一象限∴m>0,n>0
∴m+n-1=0即m+n=1
∵使不等式class="stub"1
m
+class="stub"4
n
≥a
恒成立的实数a要满足a小于等于class="stub"1
m
+class="stub"4
n
的最小值即可
class="stub"1
m
+class="stub"4
n
= (class="stub"1
m
+class="stub"4
n
)(m+n)
=1+4+class="stub"n
m
+class="stub"4m
n
≥5+2
class="stub"n
m
×class="stub"4m
n
=9
当且仅当n=2m,即n=class="stub"1
2
,m=class="stub"1
4
时等号成立
∴a≤9
故答案为:(-∞,9].

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