首页 > 已知函数f（x）=2sinxcosx-2sin2x+1（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=3，A为锐角，且f(A+

已知函数f（x）=2sinxcosx-2sin2x+1（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=3，A为锐角，且f(A+

题目简介

已知函数f（x）=2sinxcosx-2sin2x+1（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=3，A为锐角，且f(A+

题目详情

已知函数f（x）=2sinxcosx-2sin2x+1（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=
3
，A为锐角，且f(A+
π
8
)=
2
3
，求△ABC面积S的最大值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）∵f（x）=2sinxcosx-sin2x+1
=2sinxcosx+cos2x
=sin2x+cos2x
=
2
（
2
2
sin2x+
2
2
cos2x）
=
2
sin（2x+class="stub"π
4
）---（2分）
∴f（x）的最小正周期为π；--------------------（3分）
∵-class="stub"π
2
+2kπ≤2x+class="stub"π
4
≤class="stub"π
2
+2kπ（k∈Z），
∴-class="stub"3π
8
+kπ≤x≤class="stub"π
8
+kπ（k∈Z），
∴f（x）的增区间为（-class="stub"3π
8
+kπ，class="stub"π
8
+kπ）（k∈Z），-----------（6分）
（Ⅱ）∵f（A+class="stub"π
8
）=
2
3
，
∴
2
sin（2A+class="stub"π
2
）=
2
3
，
∴cos2A=class="stub"1
3
，
∴2cos2A-1=class="stub"1
3
，
∵A为锐角，即0＜A＜class="stub"π
2
，
∴cosA=
6
3
，
∴sinA=
1-cos2A
=
3
3
．--------------------（8分）
又∵a=
3
，由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA，即(
3
)2=b2+c2-2bc•
6
3
，
∵b2+c2≥2bc，
∴bc≤class="stub"9
2
+
3
6
2
．-------------------------（10分）
∴S=class="stub"1
2
bcsinA≤class="stub"1
2
（class="stub"9
2
+
3
6
2
）•
3
3
=
3(
3
+
2
)
4
．---------（12分）

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