给定方程:(12)x+sinx-1=0,下列命题中:①该方程没有小于0的实数解;②该方程有无数个实数解;③该方程在(-∞,0)内有且只有一个实数解;④若x0是该方程的实数解,则x0>-1.则正确命-数

题目简介

给定方程:(12)x+sinx-1=0,下列命题中:①该方程没有小于0的实数解;②该方程有无数个实数解;③该方程在(-∞,0)内有且只有一个实数解;④若x0是该方程的实数解,则x0>-1.则正确命-数

题目详情

给定方程:(
1
2
x+sinx-1=0,下列命题中:
①该方程没有小于0的实数解;
②该方程有无数个实数解;
③该方程在(-∞,0)内有且只有一个实数解;
④若x0是该方程的实数解,则x0>-1.
则正确命题是______.
题型:填空题难度:偏易来源:不详

答案

对于①,若α是方程(class="stub"1
2
)x+sinx-1=0的一个解,
则满足(class="stub"1
2
)α=1-sinα,当α为第三、四象限角时(class="stub"1
2
)α>1,
此时α<0,因此该方程存在小于0的实数解,得①不正确;
对于②,原方程等价于(class="stub"1
2
)x-1=-sinx,
当x≥0时,-1<(class="stub"1
2
)x-1≤0,而函数y=-sinx的最小值为-1
且用无穷多个x满足-sinx=-1,
因此函数y=(class="stub"1
2
)x-1与y=-sinx的图象在[0,+∞)上有无穷多个交点
因此方程(class="stub"1
2
)x+sinx-1=0有无数个实数解,故②正确;
对于③,当x<0时,
由于x≤-1时(class="stub"1
2
)x-1≥1,函数y=(class="stub"1
2
)x-1与y=-sinx的图象不可能有交点
当-1<x<0时,存在唯一的x满足(class="stub"1
2
)x=1-sinx,
因此该方程在(-∞,0)内有且只有一个实数解,得③正确;
对于④,由上面的分析知,
当x≤-1时(class="stub"1
2
)x-1≥1,而-sinx≤1且x=-1不是方程的解
∴函数y=(class="stub"1
2
)x-1与y=-sinx的图象在(-∞,-1]上不可能有交点
因此只要x0是该方程的实数解,则x0>-1.
故答案为:②③④

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