下列命题中正确的有______.(填上所有正确命题的序号)①若f'(x0)=0,则函数y=f(x)在x=x0取得极值;②若∫abf(x)dx>0,则f(x)>0在[a,b]上恒成立;③已知函

题目简介

下列命题中正确的有______.(填上所有正确命题的序号)①若f'(x0)=0,则函数y=f(x)在x=x0取得极值;②若∫abf(x)dx>0,则f(x)>0在[a,b]上恒成立;③已知函

题目详情

下列命题中正确的有______.(填上所有正确命题的序号)
①若f'(x0)=0,则函数y=f(x)在x=x0取得极值;
②若∫abf(x)dx>0,则f(x)>0在[a,b]上恒成立;
③已知函数f(x)=
-x2+2x
,则∫01f(x)dx的值为
π
4

④一质点在直线上以速度v=t2-4t+3(m/s)运动,从时刻t=0(s)到t=4(s)时质点运动的位移为
4
3
(m)
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

对于①,若f'(x0)=0,则函数y=f(x)在x=x0不一定取得极值,
比如函数f(x)=x3,它的导数为f'(x)=3x2,在x=0处满足f'(0)=0,
但函数f(x)是R上的增函数,在x=0处不能取得极值,故①错误;
对于②,若∫abf(x)dx>0,则f(x)>0在[a,b]上不一定恒成立,
比如f(x)=x,∫-12f(x)dx=(class="stub"1
2
x2 +c)
|2-1
=(class="stub"1
2
×22+c)-[class="stub"1
2
×(-1)2+c] =class="stub"3
2
,其中c为常数,
满足∫-12f(x)dx>0,但f(x)在[-1,2]上有正有负,故②错误;
对于③已知函数f(x)=
-x2+2x
=
1-(x-1)2

令x-1=cosα,则x=1+cosα,
其中class="stub"π
2
≤α≤π,x=0对应α=π,x=1对应α=class="stub"π
2

∴∫01f(x)dx=-class="stub"π
2
π
1-cos2α
dcosα=-class="stub"π
2
π
sinα(cosα)/

=class="stub"π
2
π
(sin2α) dα=class="stub"π
2
π
class="stub"1-cos2α
2
dα=(class="stub"1
2
α-class="stub"1
4
sin2α+c)
|π0.5π

=(class="stub"π
2
-class="stub"1
4
sin2π+c)-(class="stub"π
4
-class="stub"1
4
sinπ+c) =class="stub"π
4
,其中c为常数,
所以∫01f(x)dx的值为class="stub"π
4
,故③正确;
对于④,一质点在直线上以速度v=t2-4t+3(m/s)运动,
从时刻t=0(s)到t=4(s)时质点运动的位移等于:
∫04v(t)dt=(class="stub"1
3
t3-2t2+3t+c)
|04

=(class="stub"1
3
×43-2×42+3×4+c)-(class="stub"1
3
×03-2×02  +3×0+c)
=class="stub"4
3
,其中c为常数,
从时刻t=0(s)到t=4(s)时质点运动的位移为class="stub"4
3
(m),故④正确.
故答案为:③④

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