点P(x,y)是曲线C:y=1x(x>0)上的一个动点,曲线C在点P处的切线与x轴、y轴分别交于A,B两点,点O是坐标原点.给出三个命题:①|PA|=|PB|;②△OAB的周长有最小值4+22;③曲线

题目简介

点P(x,y)是曲线C:y=1x(x>0)上的一个动点,曲线C在点P处的切线与x轴、y轴分别交于A,B两点,点O是坐标原点.给出三个命题:①|PA|=|PB|;②△OAB的周长有最小值4+22;③曲线

题目详情

点P(x,y)是曲线C:y=
1
x
(x>0)上的一个动点,曲线C在点P处的切线与x轴、y轴分别交于A,B两点,点O是坐标原点.给出三个命题:
①|PA|=|PB|;
②△OAB的周长有最小值4+2
2

③曲线C上存在两点M,N,使得△OMN为等腰直角三角形.
其中真命题的个数是(  )
A.0B.1C.2D.3
题型:单选题难度:中档来源:海淀区二模

答案

设动点P(m,class="stub"1
m
)
(m>0),则y=-class="stub"1
x2
,∴f(m)=-class="stub"1
m2

∴过动点P(m,class="stub"1
m
)
的切线方程为:y-class="stub"1
m
=-class="stub"1
m2
(x-m)

①分别令y=0,x=0,得A(2m,0),B(0,class="stub"2
m
)

则|PA|=
m2+class="stub"1
m2
|PB|=
m2+class="stub"1
m2
,∴|PA|=|PB|,故①正确;
②由上面可知:△OAB的周长=2m+class="stub"2
m
+2
m2+class="stub"1
m2
2×2
m×class="stub"1
m
+2
2
m2×class="stub"1
m2
=4+2
2
,当且仅当m=class="stub"1
m
,即m=1时取等号.
故△OAB的周长有最小值4+2
2
,即②正确.
③假设曲线C上存在两点M(a,class="stub"1
a
)
,N(b,class="stub"1
b
)
,不妨设0<a<b,∠OMN=90°.
|ON|=
2
|OM|
OM
MN

所以
b2+class="stub"1
b2
=
2
a2+class="stub"1
a2
a(b-a)+class="stub"1
a
(class="stub"1
b
-class="stub"1
a
)=0
化为
b2+class="stub"1
b2
=2(a2+class="stub"1
a2
)
a3b=1

解得
a=
4
3-
5
2
b=class="stub"1
a3
,故假设成立.
因此③正确.
故选D

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