(理)设△ABC的内角A,B,C所对的边为a,b,c;则下列命题正确的是______.①若ab>c2;则C<π3②若a+b>2c;则C<π3③若a3+b3=c3;则C<π2④若(a+b)c<2ab;则

题目简介

(理)设△ABC的内角A,B,C所对的边为a,b,c;则下列命题正确的是______.①若ab>c2;则C<π3②若a+b>2c;则C<π3③若a3+b3=c3;则C<π2④若(a+b)c<2ab;则

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(理) 设△ABC的内角A,B,C所对的边为a,b,c;则下列命题正确的是______.
①若ab>c2;则C<
π
3
       
②若a+b>2c;则C<
π
3

③若a3+b3=c3;则C<
π
2
   
④若(a+b)c<2ab;则C>
π
2
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

①因为a2+b2≥2ab,所以由余弦定理得cos⁡C=
a2+b2-c2
2ab
2ab-c2
2ab
=1-
c2
2ab
,因为ab>c2,所以-c2>-ab,
所以cos⁡C=
a2+b2-c2
2ab
2ab-c2
2ab
=1-
c2
2ab
>1+class="stub"-ab
2ab
=1-class="stub"1
2
=class="stub"1
2
,即0<C<class="stub"π
3
,所以①正确.
②a+b>2c,所以(a+b)2>4c2c2
(a+b)2
4
-c2>-
(a+b)2
4
.所以cos⁡C=
a2+b2-c2
2ab
a2+b2-
(a+b)2
4
2ab
=
3(a2+b2)-2ab
8ab
>class="stub"3×2ab-2ab
8ab
=class="stub"1
2
,即0<C<class="stub"π
3
,所以②正确.
③假设C≥class="stub"π
2
,则c2≥a2+b2,所以c3≥ca2+cb2>a3+b3,与a3+b3=c3矛盾,所以假设不成立.即C<class="stub"π
2
成立.所以③正确.
④取a=b=2,c=1,满足(a+b)c<2ab得C为锐角,所以④错误.
所以命题正确的是①②③.
故答案为:①②③.

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