已知下列命题四个命题:①若f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,且在[-1,0)上是增函数,θ∈(π4,π2),则f(sinθ)>f(cosθ);②在△ABC中,A>B是cosA<cosB的充要条件

题目简介

已知下列命题四个命题:①若f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,且在[-1,0)上是增函数,θ∈(π4,π2),则f(sinθ)>f(cosθ);②在△ABC中,A>B是cosA<cosB的充要条件

题目详情

已知下列命题四个命题:
①若f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,且在[-1,0)上是增函数,θ∈(
π
4
π
2
)
,则f(sinθ)>f(cosθ);
②在△ABC中,A>B是cosA<cosB的充要条件;
③设函数f(x)=x2+2(-2≤x<0),其反函数为f-1(x),则f-1(3)=-1或1.
④在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知b2+c2=a2+bc,则A=
π
3

其中真命题的个数有(  )
A.1B.2C.3D.4
题型:单选题难度:偏易来源:不详

答案

①由已知可得函数在[0,1]上为减函数,∵θ∈(class="stub"π
4
,class="stub"π
2
)
,∴1>sinθ>cosθ>0,∴f(sinθ)<f(cosθ),
故①错;
②∵A、B是三角形的内角,∴A∈(0,π),B∈(0,π),
∵在(0,π)上,y=cosx是减函数,∴△ABC中,“A>B”⇔“cosA<cosB”,故②正确;
③令f(t)=3,则t=f-1(3)(-2≤t<0),所以有t2+2=3,所以t=±1,因为-2≤t<0,所以t=-1,故③错误;
④∵b2+c2=a2+bc,∴a2=b2+c2-bc,
结合余弦定理知cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
b2+c2-(b2+c2-bc) 
2bc
=class="stub"1
2

又A∈(0,π),∴A=class="stub"π
3
,故④正确.
从而真命题有两个
故选B.

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