已知函数f(x)=1a-1x(a>0,x>0).(1)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性;(2)若f(x)在[12,2]上的值域是[12,2],求a的值.-高一数学

题目简介

已知函数f(x)=1a-1x(a>0,x>0).(1)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性;(2)若f(x)在[12,2]上的值域是[12,2],求a的值.-高一数学

题目详情

已知函数f(x)=
1
a
-
1
x
(a>0,x>0).
(1)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性;
(2)若f(x)在[
1
2
,2]上的值域是[
1
2
,2]
,求a的值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
设x1>x2>0,f(x1)-f(x2)=(class="stub"1
a
-class="stub"1
x1
)-(class="stub"1
a
-class="stub"1
x2
)
=class="stub"1
x2
-class="stub"1
x1
=
x1-x2
x1x2

因为x1>x2>0,所以x1-x2>0,x1•x2>0,所以f(x1)-f(x2)>0,
所以f(x1)>f(x2),因此函数f(x)在(0,+∞)上是单调递增的.
(2)由(1)知函数f(x)在[class="stub"1
2
,2]上单调递增,并且f(x)在[class="stub"1
2
,2]上的值域是[class="stub"1
2
,2],
所以
f(class="stub"1
2
)=class="stub"1
a
-2=class="stub"1
2
f(2)=class="stub"1
a
-class="stub"1
2
=2
,所以a=class="stub"2
5

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