首页 > 已知函数f(x)=x+1x，x∈[-2，-1)-2，x∈[-1，12)x-1x，x∈[12，2]（1）判断当x∈[-2，1）时，函数f（x）的单调性，并用定义证明之；（2）求f（x）的值域（3）设函数

已知函数f(x)=x+1x，x∈[-2，-1)-2，x∈[-1，12)x-1x，x∈[12，2]（1）判断当x∈[-2，1）时，函数f（x）的单调性，并用定义证明之；（2）求f（x）的值域（3）设函数

题目简介

已知函数f(x)=x+1x，x∈[-2，-1)-2，x∈[-1，12)x-1x，x∈[12，2]（1）判断当x∈[-2，1）时，函数f（x）的单调性，并用定义证明之；（2）求f（x）的值域（3）设函数

题目详情

已知函数f(x)=
x+
1
x
，x∈[-2，-1)
-2，x∈[-1，
1
2
)
x-
1
x
，x∈[
1
2
，2]

（1）判断当x∈[-2，1）时，函数f（x）的单调性，并用定义证明之；
（2）求f（x）的值域
（3）设函数g（x）=ax-2，x∈[-2，2]，若对于任意x1∈[-2，2]，总存在x0∈[-2，2]，使g（x0）=f（x1）成立，求实数a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）函数f（x）在[-2，-1）上是增函数，
证明：∵当x∈[-2，1）时，f（x）=x+class="stub"1
x
，
∴任取x1，x2∈[-2，1），且x1＜x2，
∴x1-x2＜0，1＜x1x2，
∴1-class="stub"1
x1x2
＞0，
∴f（x1）-f（x2）=x1+class="stub"1
x1
-(x2+class="stub"1
x2
)=（x1-x2）(1-class="stub"1
x1x2
)＜0，
∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在[-2，-1）上是增函数；
（2）由（1）可知，f（x）=x+class="stub"1
x
在[-2，-1）上是增函数，
∴当x∈[-2，-1）时，f（-2）≤f（x）＜f（-1），
∴f（x）∈[-class="stub"5
2
，-2)，
当x∈[class="stub"1
2
，2]时，f（x）=x-class="stub"1
x
，
∵y=x在[class="stub"1
2
，2]上为单调递增函数，y=class="stub"1
x
在[class="stub"1
2
，2]上为单调递减函数，
∴f（x）在[class="stub"1
2
，2]上为单调递增函数，
∴x∈[class="stub"1
2
，2]时，f（class="stub"1
2
）≤f（x）≤f（2），
∴f（x）∈[-class="stub"3
2
，class="stub"3
2
]，
当x∈[-1，class="stub"1
2
）时，f（x）=-2，
综上所述，f（x）的值域为A=[-class="stub"5
2
，-2]∪[-class="stub"3
2
，class="stub"3
2
]；
（3）∵函数g（x）=ax-2，x∈[-2，2]，
①当a=0时，g（x）=-2，
对于任意x1∈[-2，2]，f（x1）∈[-class="stub"5
2
，-2]∪[-class="stub"3
2
，class="stub"3
2
]，
∴不存在x0∈[-2，2]，使得g（x0）=f（x1）成立，
∴a=0不符合题意；
②当a≠0时，设g（x）的值域为B，
∴B=[-2|a|-2，2|a|-2]，
∵对于任意x1∈[-2，2]，总存在x0∈[-2，2]，使g（x0）=f（x1）成立，
∴A⊆B，
∴
-2|a|-2≤-class="stub"5
2
2|a|-2≥class="stub"3
2
，即
|a|≥class="stub"1
4
|a|≥class="stub"7
4
，
∴|a|≥class="stub"7
4
，
∴a≤-class="stub"7
4
或a≥class="stub"7
4
，
∴实数a的取值范围是（-∞，-class="stub"7
4
]∪[class="stub"7
4
，+∞）．

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网