首页 > 已知函数f（x）=1x．（1）若f(a)•(e-1)=∫e1f(x)dx，求a的值；（2）t＞1，是否存在a∈[1，t]使得f(a)•(t-1)=∫t1f(x)dx成立？并给予证明；（3）结合定积分的

已知函数f（x）=1x．（1）若f(a)•(e-1)=∫e1f(x)dx，求a的值；（2）t＞1，是否存在a∈[1，t]使得f(a)•(t-1)=∫t1f(x)dx成立？并给予证明；（3）结合定积分的

题目简介

已知函数f（x）=1x．（1）若f(a)•(e-1)=∫e1f(x)dx，求a的值；（2）t＞1，是否存在a∈[1，t]使得f(a)•(t-1)=∫t1f(x)dx成立？并给予证明；（3）结合定积分的

题目详情

已知函数f（x）=
1
x
．
（1）若f(a)•(e-1)=
∫e1
f(x)dx，求a的值；
（2）t＞1，是否存在a∈[1，t]使得f(a)•(t-1)=
∫t1
f(x)dx成立？并给予证明；
（3）结合定积分的几何意义说明（2）的几何意义．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵f(a)•(e-1)=
∫e1
f(x)dx，∴class="stub"1
a
•(e-1)=
∫e1
class="stub"1
x
dx=lnx
|e1
=，1∴a=e-1…（3分）
（2）
∫t1
f(x)dx=
∫t1
class="stub"1
x
dx=lnx
|t1
=lnt
设class="stub"1
a
•(t-1)=lnt，∴a=class="stub"t-1
lnt
…（5分）
下面证明a∈[1，t]：a-1=class="stub"t-1
lnt
-1=class="stub"t-1-lnt
lnt

设g（t）=t-1-lnt（t＞1）则g′(t)=1-class="stub"1
t
=class="stub"t-1
t
＞0(∵t＞1)
∴g（t）在（1，+∞）上为增函数，当t＞1时，g（t）＞g（1）=0
又∵t＞1时lnt＞0，∴a-1＞0即a＞1…（8分）
a-t=class="stub"t-1
lnt
-t=class="stub"t-1-tlnt
lnt

设h（t）=t-1-tlnt（t＞1）则h′(t)=1-(1•lnt+t•class="stub"1
t
)=-lnt＜0(∵t＞1)
∴h（t）在（1，+∞）上为减函数，当t＞1时h（t）＜h（1）=0
又∵t＞1时lnt＞0，∴a-t＜0即a＜t，∴a∈[1，t]
综上：当t＞1时，存在a∈[1，t]使得f(a)•(t-1)=
∫t1
f(x)dx成立．…（11分）
（3）连续函数f（x）在闭区间[a，b]上的定积分等于该区间上某个点x0的函数值f（x0）与该区间长度的积，即
∫ba
f(x)dx=f(x0)•(b-a)其中x0∈[a，b]…（14分）

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