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已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为(π6，0)和(5π6，0)，且过点（0，-3）．（1）求f（x）的解析式．（2）求满足f(x)

题目简介

已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为(π6，0)和(5π6，0)，且过点（0，-3）．（1）求f（x）的解析式．（2）求满足f(x)

题目详情

已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为(
π
6
，0)和(
5π
6
，0)，且过点（0，-3）．
（1）求f（x）的解析式．
（2）求满足f(x)≥
3
的x的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）可得f（x）的周期为T=class="stub"5π
6
-class="stub"π
6
=class="stub"2π
3
=class="stub"π
ω
，∴ω=class="stub"3
2
，
得f(x)=Atan(class="stub"3
2
x+φ)，它的图象过点(class="stub"π
6
，0)，∴Atan(class="stub"3
2
•class="stub"π
6
+φ)=0，
即tan(class="stub"π
4
+φ)=0，∴class="stub"π
4
+φ=kπ，得φ=kπ-class="stub"π
4
，又|φ|＜class="stub"π
2
，∴φ=-class="stub"π
4
，
于是f(x)=Atan(class="stub"3
2
x-class="stub"π
4
)，它的图象过点（0，-3），∴Atan(-class="stub"π
4
)=-3，得A=3．
∴f(x)=3tan(class="stub"3
2
x-class="stub"π
4
)；
（2）由（1）得3tan(class="stub"3
2
x-class="stub"π
4
)≥
3
，∴tan(class="stub"3
2
x-class="stub"π
4
)≥
3
3
，
得kπ+class="stub"π
6
≤class="stub"3
2
x-class="stub"π
4
＜kπ+class="stub"π
2
，解得class="stub"2kπ
3
+class="stub"5π
18
≤x＜class="stub"2kπ
3
+class="stub"π
2
，
∴满足f(x)≥
3
的x的取值范围是[class="stub"2kπ
3
+class="stub"5π
18
，class="stub"2kπ
3
+class="stub"π
2
)(k∈Z)．

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