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如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形BC∥AD，∠DAB＝90°，AB＝BB1＝4，BC＝3，AD＝5，AE＝3，F、G分别为CD、C1D1的中点．（1）求证：EF⊥平面B

题目简介

如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形BC∥AD，∠DAB＝90°，AB＝BB1＝4，BC＝3，AD＝5，AE＝3，F、G分别为CD、C1D1的中点．（1）求证：EF⊥平面B

题目详情

如图，在直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是梯形BC∥AD，∠DAB＝90°，AB＝BB₁＝4，BC＝3，AD＝5，AE＝3，F、G分别为CD、C₁D₁的中点．

（1）求证：EF⊥平面BB₁G；
（2）求二面角E－BB₁－G的大小．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）略
（2）

（1）

连接FG　∵F、G分别为CD、C1D1的中点，
∴FG

CC1　从而FG

BB1
∴B、B1、F、G四点共面．
连接BF并延长与AD的延长线交于点H．
∵F为CD的中点，且BC∥A D．
∴△HFD

△BFC　∴DH＝BC＝3
∴EH＝DE+DH＝5．　又∵BE＝5，且F为BH的中点．
∴EF⊥BF，又∵BB1⊥平面ABCD，且EF平面ABCD内．
∴BB1⊥EF　∴EF⊥平面BB1GF．　　从而EF⊥平面BB1G．
（2）二面角E－BB1－G的大小等于二面角F－BB1－E的大小
∵EF⊥平面FBB1　且EB⊥BB1　FB⊥BB1
即∠EBF为二面角F－BB1－E的平面角
在△EFB中，EB＝5，EF＝

．　∴

∴∠EBF＝

　∴二面角E－BB1－G的大小为

解法2：以A为坐标原点，AB为x轴，AA1为y轴，AD为Z轴建立空间直角坐标系，
则E（0，0，3）、F（2，0，4）、G（2，4，4）、B（4，0，0）、B1（4，4，0）
（1）

、

、

∵

，

∴EF⊥BB1，EF⊥B1G　∴EF⊥平面BB1G
（2）∵EF⊥平面BB1G　∴

为平面BB1G的一个法向量
设平面EBB1的一个

法向量为

　

则

　解得

，取

∴

∴二面角E－BB1－G的大小为

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