如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是梯形BC∥AD,∠DAB=90°,AB=BB1=4,BC=3,AD=5,AE=3,F、G分别为CD、C1D1的中点.(1)求证:EF⊥平面B

题目简介

如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是梯形BC∥AD,∠DAB=90°,AB=BB1=4,BC=3,AD=5,AE=3,F、G分别为CD、C1D1的中点.(1)求证:EF⊥平面B

题目详情

如图,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是梯形BCAD,∠DAB=90°,ABBB1=4,BC=3,AD=5,AE=3,FG分别为CDC1D1的中点.

(1)求证:EF⊥平面BB1G
(2)求二面角EBB1G的大小.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)
(2)
(1)

连接FG ∵FG分别为CDC1D1的中点,
FGCC1 从而FGBB1
BB1、FG四点共面.
连接BF并延长与AD的延长线交于点H
FCD的中点,且BCA                    D
∴△HFDBFC ∴DHBC=3
EHDE+DH=5. 又∵BE=5,且FBH的中点.
EFBF,又∵BB1⊥平面ABCD,且EF平面ABCD内.
BB1⊥EF ∴EF⊥平面BB1GF.  从而EF⊥平面BB1G
(2)二面角EBB1-G的大小等于二面角FBB1-E的大小
EF⊥平面FBB1 且EBBB1 FBBB1
即∠EBF为二面角F­-BB1-E的平面角
在△EFB中,EB=5,EF. ∴
∴∠EBF ∴二面角EBB1-G的大小为
解法2:以A为坐标原点,ABx轴,AA1为y轴,ADZ轴建立空间直角坐标系,
E(0,0,3)、F(2,0,4)、G(2,4,4)、B(4,0,0)、B1(4,4,0)
(1)

EFBB1,EFB1G ∴EF⊥平面BB1G
(2)∵EF⊥平面BB1G ∴为平面BB1G的一个法向量
设平面EBB1的一个法向量为
 
 解得,取


∴二面角EBB1-G的大小为

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