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> 如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是梯形BC∥AD,∠DAB=90°,AB=BB1=4,BC=3,AD=5,AE=3,F、G分别为CD、C1D1的中点.(1)求证:EF⊥平面B
如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是梯形BC∥AD,∠DAB=90°,AB=BB1=4,BC=3,AD=5,AE=3,F、G分别为CD、C1D1的中点.(1)求证:EF⊥平面B
题目简介
如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是梯形BC∥AD,∠DAB=90°,AB=BB1=4,BC=3,AD=5,AE=3,F、G分别为CD、C1D1的中点.(1)求证:EF⊥平面B
题目详情
如图,在直四棱柱
ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1
中,底面
ABCD
是梯形
BC
∥
AD
,∠
DAB
=90°,
AB
=
BB
1
=4,
BC
=3,
AD
=5,
AE
=3,
F
、
G
分别为
CD
、
C
1
D
1
的中点.
(1)求证:
EF
⊥平面
BB
1
G
;
(2)求二面角
E
-
BB
1
-
G
的大小.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)
略
(2)
(1)
连接
FG
∵
F
、
G
分别为
CD
、
C
1
D
1的中点,
∴
FG
CC
1 从而
FG
BB
1
∴
B
、
B
1、
F
、
G
四点共面.
连接
BF
并延长与
AD
的延长线交于点
H
.
∵
F
为
CD
的中点,且
BC
∥
A D
.
∴△
HFD
△
BFC
∴
DH
=
BC
=3
∴
EH
=
DE
+
DH
=5. 又∵
BE
=5,且
F
为
BH
的中点.
∴
EF
⊥
BF
,又∵
BB
1⊥平面
ABCD
,且
EF
平面
ABCD
内.
∴
BB
1⊥
EF
∴
EF
⊥平面
BB
1
GF
. 从而
EF
⊥平面
BB
1
G
.
(2)二面角
E
-
BB
1-
G
的大小等于二面角
F
-
BB
1-
E
的大小
∵
EF
⊥平面
FBB
1 且
EB
⊥
BB
1
FB
⊥
BB
1
即∠
EBF
为二面角
F
-
BB
1-
E
的平面角
在△
EFB
中,
EB
=5,
EF
=
. ∴
∴∠
EBF
=
∴二面角
E
-
BB
1-
G
的大小为
解法2:以
A
为坐标原点,
AB
为
x
轴,
AA
1为
y
轴,
AD
为
Z
轴建立空间直角坐标系,
则
E
(0,0,3)、
F
(2,0,4)、
G
(2,4,4)、
B
(4,0,0)、
B
1(4,4,0)
(1)
、
、
∵
,
∴
EF
⊥
BB
1,
EF
⊥
B
1
G
∴
EF
⊥平面
BB
1
G
(2)∵
EF
⊥平面
BB
1
G
∴
为平面
BB
1
G
的一个法向量
设平面
EBB
1的一个
法向量为
则
解得
,取
∴
∴二面角
E
-
BB
1-
G
的大小为
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已知、是两个不同平面,、是两不
下一篇 :
下列命题中正确命题的个数是()①
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题目详情
(1)求证:EF⊥平面BB1G;
(2)求二面角E-BB1-G的大小.
答案
(2)
连接FG ∵F、G分别为CD、C1D1的中点,
∴FG
∴B、B1、F、G四点共面.
连接BF并延长与AD的延长线交于点H.
∵F为CD的中点,且BC∥A D.
∴△HFD
∴EH=DE+DH=5. 又∵BE=5,且F为BH的中点.
∴EF⊥BF,又∵BB1⊥平面ABCD,且EF
∴BB1⊥EF ∴EF⊥平面BB1GF. 从而EF⊥平面BB1G.
(2)二面角E-BB1-G的大小等于二面角F-BB1-E的大小
∵EF⊥平面FBB1 且EB⊥BB1 FB⊥BB1
即∠EBF为二面角F-BB1-E的平面角
在△EFB中,EB=5,EF=
∴∠EBF=
解法2:以A为坐标原点,AB为x轴,AA1为y轴,AD为Z轴建立空间直角坐标系,
则E(0,0,3)、F(2,0,4)、G(2,4,4)、B(4,0,0)、B1(4,4,0)
(1)
∵
∴EF⊥BB1,EF⊥B1G ∴EF⊥平面BB1G
(2)∵EF⊥平面BB1G ∴
设平面EBB1的一个
则
∴
∴二面角E-BB1-G的大小为