优课网
首页
数学
语文
英语
化学
物理
政治
历史
生物
首页
> 如图,四棱锥的底面是矩形,底面,P为BC边的中点,SB与平面ABCD所成的角为45°,且AD=2,SA=1.(1)求证:平面SAP;(2)求二面角A-SD-P的大小.-高三数学
如图,四棱锥的底面是矩形,底面,P为BC边的中点,SB与平面ABCD所成的角为45°,且AD=2,SA=1.(1)求证:平面SAP;(2)求二面角A-SD-P的大小.-高三数学
题目简介
如图,四棱锥的底面是矩形,底面,P为BC边的中点,SB与平面ABCD所成的角为45°,且AD=2,SA=1.(1)求证:平面SAP;(2)求二面角A-SD-P的大小.-高三数学
题目详情
如图,四棱锥
的底面是矩形,
底面
,
P
为
BC
边的中点,
SB
与
平面
ABCD
所成的角为45°,且
AD
=2,
SA
=1.
(1)求证:
平面
SAP
;
(2)求二面角
A
-
SD
-
P
的大小.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)见解析
(2)二面角
A
-
SD
-
P
的大小为
(1)因为
底面
,
所以,∠
SBA
是
SB
与平面
ABCD
所成的角…………………….……….1分
由已知∠
SBA
=45°,所以
AB
=
SA
=1易求得,
AP
=
PD
=
,……………………….2分
又因为
AD
=2,所以
AD
2=
AP
2+
PD
2,所以
.………….…….3分
因为SA⊥底面ABCD,
平面
ABCD
,
所以
SA
⊥
PD
, …………….……………………….…....4分
由于
SA
∩
AP
=
A
所以
平面
SAP
.…………………………….5分
(2)设
Q
为
AD
的中点,连结
PQ
, ………………….………6分
由于
SA
⊥底面
ABCD
,且
SA
平面
SAD
,则平面
SAD
⊥平面
PAD
….7分
因为
PQ
⊥
AD
,所以
PQ
⊥平面
SAD
过
Q
作
QR
⊥
SD
,垂足为
R
,连结
PR,
由三垂线定理可知
PR
⊥
SD
,
所以∠
PRQ
是二面角
A
-
SD
-
P
的平面角. …9分
容易证明△
DRQ
∽△
DAS
,则
因为
DQ
= 1,
SA
=1,
,所以
….……….10分
在Rt△
PRQ
中,因为
PQ
=
AB
=1,所以
………11分
所以二面角
A
-
SD
-
P
的大小为
.……………….…….…….12分
或:过A在平面SAP内作
,且垂足为H,在平面SAD内作
,且垂足为E,连接HE,
平面
SAP
。
平面
SPD
…………7分
∴HE为AE在平面SPD内的射影,∴由三垂线定理得
从而
是二面角
A
-
SD
-
P
的平面角……………………………….9分
在
中,
,在
中,
,
. ………………………………….11分
即二面角
的大小为
……………………………12分
解法二:因为
底面
,
所以,∠
SBA
是
SB
与平面
ABCD
所成的角…………………………………1分
由已知∠
SBA
=45°,所以
AB
=
SA
=1
建立空间直角坐标系(如图)
由已知,P为BC中点.
于是A(0,0,0)、B(1,0,0) 、P(1,1,0)、D(0,2,0)、S(0,0,1)
……..….2分
(1)易求得
,
,
..………….…....3分
因为
,
=0。
所以
,
由于
AP
∩
SP
=
P
,所以
平面
SAP
………….……………..….…5分
(2)设平面SPD的法向量为
由
,得
解得
,
所以
……………….…………….……….8分
又因为AB⊥平面SAD,所以
是平面SAD的法向量,易得
…9分
所以
….………………….11分
所求二面角
的大小为
. ……………….……….…… 12分
上一篇 :
(本小题满分12分)如图,在直三棱
下一篇 :
若梯形的中位线被它的两条对角
搜索答案
更多内容推荐
(本题12分)如图,长方体中,,,点为的中点。(1)求证:直线∥平面;(2)求证:平面平面;(3)求证:直线平面。-高二数学
(本题满分12分)在直三棱柱中,,直线与平面成角;(1)求证:平面平面;(2)求二面角的正弦值.-高二数学
(本小题满分12分)如图,在四棱锥S—ABCD中,底面ABCD为矩形,SA⊥平面ABCD,二面角S—CD—A的平面角为,M为AB中点,N为SC中点.(1)证明:MN//平面SAD;(2)证明:平面SM
(本小题满分12分)如图所示,在正三棱柱中,底面边长为,侧棱长为,是棱的中点.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求二面角的大小;(Ⅲ)求点到平面的距离.-数学
如图,已知直三棱柱ABC—A1B1C1,。E、F分别是棱CC1、AB中点。(1)求证:;(2)求四棱锥A—ECBB1的体积;(3)判断直线CF和平面AEB1的位置关系,并加以证明。-高三数学
如图,在长方体中,、分别是棱,上的点,,(1)求异面直线与所成角的余弦值;(2)证明平面(3)求二面角的正弦值。-数学
半径为2cm的半圆纸片卷成圆锥放在桌面上,一阵风吹倒它,它的最高处距桌面()A.B.C.2cmD.4cm-数学
已知四个命题,其中正确的命题是()①若直线l//平面,则直线l的垂线必平行平面;②若直线l与平面相交,则有且只有一个平面,经过l与平面垂直;③若一个三棱锥每两个相邻侧面所成-数学
ABCD与CDEF是两个全等的正方形,且两个正方形所在平面互相垂直,M是BC的中点,则异面直线AM与DF所成角的正切值为★.-高三数学
如图5,四棱锥中,底面为矩形,底面,,分别为的中点(1)求证:面;(2)若,求与面所成角的余弦值-高三数学
如果直线与平面满足:和那么必有()A.且B.且C.且D.且-高三数学
如图,四棱锥P—ABCD的底面是正方形,PA底面ABCD,PA=2,,点E,F分别为棱AB,PD的中点。(I)在现有图形中,找出与AF平行的平面,并给出证明;(II)判断平面PCE与平面PCD是否垂-
用一个平面去截正方体,对于截面的边界,有以下图形:①钝角三角形;②直角梯形;③菱形;④正五边形;⑤正六边形。则不可能的图形的选项为()A.③④⑤B.①②⑤C.①②④D.②③④-高三数学
垂直于所在平面,,,与平面成角,又,①求证:是;②求与平面所成的角的正切值.-高三数学
三棱锥中,,,,,若四点在同一个球面上,则在球面上两点之间的球面距离是_____.-高二数学
(本题满分10分)把边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长为xcm的相等的正方形,然后折成一个高度为xcm的无盖的长方体的盒子,问x取何值时,盒子的容积最大,最大容积是多少?-高二数学
如图(1)在直角梯形中,∥=2,、、分别是、、的中点,现将沿折起,使平面平面(如图2).(Ⅰ)求二面角的大小;(Ⅱ)在线段上确定一点,使平面,并给出证明过程.-高三数学
已知是不同的两个平面,直线,直线,条件与没有公共点,条件,则是的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件-高三数学
(本小题满分12分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,H分别是棱A1B1,D1C1上的点(点E与B1不重合),且EH∥A1D1.过EH的平面与棱BB1,CC1相交,交点分别为F,G。(I
(本小题满分13分)如图,圆柱OO1内有一个三棱柱ABC-A1B1C1,三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形,且AB是圆O的直径。(Ⅰ)证明:平面A1ACC1⊥平面B1BCC1;(Ⅱ)设AB=AA1。在
(本小题满分12分)如图,在直三棱柱中,,,,点D是的中点⑴求证:;⑵求证:平面。-高三数学
(本小题满分12分)如图4,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB//CD,,AB=AD=2CD,侧面底面ABCD,且为等腰直角三角形,,M为AP的中点。(1)求证:(2)求证:DM//平
下列说法中正确的是()A.棱柱的侧面可以是三角形B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱C.所有的几何体的表面都能展成平面图形D.棱柱的各条棱都相等-数学
如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且边长为1的菱形。侧面PAD是正三角形,其所在侧面垂直底面ABCD,G是AD中点。(1)求异面直线BG与PC所成的角;(2)求点G到面PBC
9.由“若直角三角形两直角边的长分别为,将其补成一个矩形,则根据矩形的对角线长可求得该直角三角形外接圆的半径为”.对于“若三棱锥三条侧棱两两垂直,侧棱长分别为”,类比上-高三数学
(本小题满分12分)如图,在正三棱柱中,分别是的中点,.(Ⅰ)在棱上是否存在点使?如果存在,试确定它的位置;如果不存在,请说明理由;(Ⅱ)求截面与底面所成锐二面角的正切值;(Ⅲ-高三数学
下面四个命题:①在空间中,过直线外一点只能作一条直线与该直线平行;②“直线⊥平面内所有直线”的充要条件是“⊥平面”;③“平面∥平面”的必要不充分条件是“内存在不共线三点到的距离-高二数学
设为两条直线,为两个平面,下列四个命题中真命题是()A.若与所成角相等,则B.若C.若D.若-高三数学
(本小题满分13分)如图,直三棱柱A1B1C1-ABC中,C1C=CB=CA=2,AC⊥CB.D、E分别为棱C1C、B1C1的中点.(Ⅰ)求A1B与平面A1C1CA所成角的大小;(Ⅱ)求二面角B-A1
在一个容积为6的密封的透明正方体容器内装有液体,如果任意转动该正方体,液面的形状都不是三角形,那么液体体积的取值范围是_________-高一数学
如图5,是半径为a的半圆,AC为直径,点E为的中点,点B和点C为线段AD的三等分点.平面AEC外一点F满足,FE=a.图5(1)证明:EB⊥FD;(2)已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点,使得,求
在平面内,三角形的面积为S,周长为C,则它的内切圆的半径.在空间中,三棱锥的体积为V,表面积为S,利用类比推理的方法,可得三棱锥的内切球(球面与三棱锥的各个面均相切)的-高三数学
(本小题满分12分)如图,在六面体ABC-DEFG中,平面∥平面,⊥平面,,,∥.且,.(1)求证:∥平面;(2)求二面角的余弦值.-高三数学
高为5,底面边长为4的正三棱柱形容器(下有底),可放置最大球的半径是A.B.2C.D.-高三数学
(本小题12分)图甲是一个几何体的表面展开图,图乙是棱长为的正方体。(Ⅰ)若沿图甲中的虚线将四个三角形折叠起来,使点、、、重合,则可以围成怎样的几何体?请求出此几何体的体-高三数学
过与的直线与过点的直线垂直,则.-高二数学
表示平面,为直线,下列命题中为真命题的是()A.B.C.D.-高三数学
(本小题满分14分)如图,在直四棱柱中,,分别是的中点.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求证:平面平面.-高三数学
(本题满分14分,第(1)小题6分,第(2)小题8分)四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PA与平面ABCD所成的角为60,在四边形ABCD中,∠ADC=∠DAB=90,AB=4,CD=1,AD
(本小题满分14分)如图,在三棱柱中,侧面底面ABC,,,且为AC中点。(I)证明:平面ABC;(II)求直线与平面所成角的正弦值;(III)在上是否存在一点E,使得平面,若不存在,说明理-数学
(本题满分12分)四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面PAD是边长为2的正三角形,且侧面PAD与底面ABCD垂直,E为PD的中点。(1)求证:PB//面ACE;(2)求二面角E—AC—D的
(本题12分)如图,四棱柱ABCD—ABCD中,AD平面ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱AA=2.(1)求证:CD∥平面ABBA;(2)求直线BD与平面ACD所成角的正弦值;(3)求二面
若一个球的半径扩大到原来的2倍,则它的体积扩大到原来的()倍()A.2B.4C.6D.8-高一数学
(本小题满分12分)如图5所示,在正方体E是棱的中点。(Ⅰ)求直线BE的平面所成的角的正弦值;(II)在棱上是否存在一点F,使平面证明你的结论。-数学
-数学
(本小题满分13分)已知四棱锥的底面是边长为2的正方形,面分别为的中点,(Ⅰ)求直线与面所成角的正弦值;(Ⅱ)求二面角的正切值.-高三数学
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为8cm,M、N、P分别是AB、A1D1、BB1的中点;(1)画出过M、N、P三点的平面与平面A1B1C1D1的交线以及与平面BB1C1C的交线;(2)设过
已知直线,有下面四个命题:(1);(2);(3);(4).其中正确的命题是()A.(1)与(2)B.(1)与(3)C.(2)与(4)D.(3)与(4)-高三数学
如图①,,分别是直角三角形边和的中点,,沿将三角形折成如图②所示的锐二面角,若为线段中点.求证:(1)直线平面;(6分)(2)平面平面.(8分)-高二数学
(本小题满分12分)如图所示,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD为正方形,PA⊥AD,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点。(1)求证:BC//平面EFG;(2)求三棱锥E—A
返回顶部
题目简介
如图,四棱锥的底面是矩形,底面,P为BC边的中点,SB与平面ABCD所成的角为45°,且AD=2,SA=1.(1)求证:平面SAP;(2)求二面角A-SD-P的大小.-高三数学
题目详情
平面ABCD所成的角为45°,且AD=2,SA=1.
(1)求证:
(2)求二面角A-SD-P的大小.
答案
(2)二面角A-SD-P的大小为
所以,∠SBA是SB与平面ABCD所成的角…………………….……….1分
由已知∠SBA=45°,所以AB=SA=1易求得,AP=PD=
又因为AD=2,所以AD2=AP2+PD2,所以
因为SA⊥底面ABCD,
所以SA⊥PD, …………….……………………….…....4分
由于SA∩AP=A 所以
由于SA⊥底面ABCD,且SA
因为PQ⊥AD,所以PQ⊥平面SAD
过Q作QR⊥SD,垂足为R,连结PR,
由三垂线定理可知PR⊥SD,
所以∠PRQ是二面角A-SD-P的平面角. …9分
容易证明△DRQ∽△DAS,则
因为DQ= 1,SA=1,
在Rt△PRQ中,因为PQ=AB=1,所以
所以二面角A-SD-P的大小为
或:过A在平面SAP内作
∴HE为AE在平面SPD内的射影,∴由三垂线定理得
从而
在
即二面角
解法二:因为
所以,∠SBA是SB与平面ABCD所成的角…………………………………1分
建立空间直角坐标系(如图)
由已知,P为BC中点.
于是A(0,0,0)、B(1,0,0) 、P(1,1,0)、D(0,2,0)、S(0,0,1)
……..….2分
(1)易求得
因为
所以
由于AP∩SP=P,所以
(2)设平面SPD的法向量为
由
所以
又因为AB⊥平面SAD,所以
所以
所求二面角