(本小题满分12分)如图,在正三棱柱中,分别是的中点,.(Ⅰ)在棱上是否存在点使?如果存在,试确定它的位置;如果不存在,请说明理由;(Ⅱ)求截面与底面所成锐二面角的正切值;(Ⅲ-高三数学

题目简介

(本小题满分12分)如图,在正三棱柱中,分别是的中点,.(Ⅰ)在棱上是否存在点使?如果存在,试确定它的位置;如果不存在,请说明理由;(Ⅱ)求截面与底面所成锐二面角的正切值;(Ⅲ-高三数学

题目详情

(本小题满分12分)如图,在正三棱柱中,分别是的中点,

(Ⅰ)在棱上是否存在点使?如果存在,试确定它的位置;如果不存在,请说明理由;
(Ⅱ)求截面与底面所成锐二面角的正切值;
(Ⅲ)求点到截面的距离.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)存在且为的中点
(Ⅱ)
(Ⅲ)
解法一:(Ⅰ)存在且为的中点,连接,
分别是的中点, ∴.          (3分)
(Ⅱ)延长的延长线交于,连接
为截面与底面所成二面角的棱,
的中点,连,则

,∴的中点.
由题设得,且,
,则,连,
,
由三垂线定理可知
为截面与底面所成的锐二面角.                              (6分)
中,,∴.         (8分)
(Ⅲ)在中,得
中,得,

,解得,即到截面距离为.   (12分)
解法二:(Ⅱ)如图,以为坐标原点,
的方向分别作为轴的正方向建立空间直角坐标系,



分别是
的中点,∴,
,
设平的法向量为

解得,取
又平面的一个法向量为,                               (6分)
设截面与底面所成锐二面角为

,得
故截面与底所成锐二面角的正切值为2.  (8分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知平面的一个法向量为
设点到截面的距离为
由向量的投影得
故点到截面的距离为.                                    (12分)

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