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在三棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，，、分别为、的中点，（1）证明：；（2）求二面角的大小；（3）求点到平面的距离．-高二数学

题目简介

在三棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，，、分别为、的中点，（1）证明：；（2）求二面角的大小；（3）求点到平面的距离．-高二数学

题目详情

在三棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，，、分别为、的中点，
（1）证明：；
（2）求二面角的大小；
（3）求点到平面的距离．
题型：解答题难度：偏易来源：不详

答案

arctan2，
．解：（Ⅰ）取AC中点D，连结SD、DB.      
∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SD且AC⊥BD，∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，
∴AC⊥SB.               
（Ⅱ）∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，∴平面SDB⊥平面ABC.
过N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，
过E作EF⊥CM于F，连结NF，
则NF⊥CM.
∴∠NFE为二面角N－CM－B的平面角.
∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC.
又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD.
∵SN=NB，∴NE=SD===，且ED=EB.
在正△ABC中，由平几知识可求得EF=MB=，在Rt△NEF中，tan∠NFE==2，∴二面角N—CM—B的大小是arctan2
（Ⅲ）在Rt△NEF中，NF==，
∴S△CMN=CM·NF=，S△CMB=BM·CM=2.
设点B到平面CMN的距离为h，
∵VB-CMN=VN-CMB，NE⊥平面CMB，∴S△CMN·h=S△CMB·NE，
∴h==.即点B到平面CMN的距离为

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