首页 > （本小题满分14分）如图：在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且（I）证明：平面AMN；（II）求三棱锥N的体积；（III）在线段PD上是否存在一点E，使得

（本小题满分14分）如图：在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且（I）证明：平面AMN；（II）求三棱锥N的体积；（III）在线段PD上是否存在一点E，使得

题目简介

（本小题满分14分）如图：在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且（I）证明：平面AMN；（II）求三棱锥N的体积；（III）在线段PD上是否存在一点E，使得

题目详情

（本小题满分14分）
如图：在四棱锥

中，底面ABCD是菱形，

，

平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中

点，且

（I）证明：

平面AMN；
（II）求三棱锥N

的体积；
（III）在线段PD上是否存在一点E，

使得

平面ACE；若存在，求出PE的长，若不存在，说明理由。

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

证明：（I）因为ABCD为菱形，所以AB=BC
又∠ABC=60°，所以AB=BC=AC， ………………1分
又M为BC中点，所以BC⊥AM ………………2分
而PA⊥平面ABCD，BC

平面ABCD，所以PA⊥BC ………………4分
又PA∩AM=A，所以BC⊥平面AMN ………………5分
（II）因为

………………6分
又PA⊥底面ABCD，PA=2，所以AN=1

所以，三棱锥N—AMC的体积

………………8分

………………9分
（III）存在 ………………10分
取PD中点E，连结NE，EC，AE，
因为N，E分别为PA，PD中点，所以

………………11分
又在菱形ABCD中，

所以NE

，即MCEN是平行四边形 ………………12分
所以，NM//EC，
又EC

平面ACE，NM

平面ACE
所以MN//平面ACE， ………………13分
即在PD上存在一点E，使得NM//平面ACE，
此时

略

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