(本小题满分12分)如图,正三棱锥的三条侧棱、、两两垂直,且长度均为2.、分别是、的中点,是的中点,过作平面与侧棱、、或其延长线分别相交于、、,已知。(1)求证:⊥平面;(2-高三数学

题目简介

(本小题满分12分)如图,正三棱锥的三条侧棱、、两两垂直,且长度均为2.、分别是、的中点,是的中点,过作平面与侧棱、、或其延长线分别相交于、、,已知。(1)求证:⊥平面;(2-高三数学

题目详情

(本小题满分12分)
如图,正三棱锥的三条侧棱两两垂直,且长度均为2.分别是的中点,的中点,过作平面与侧棱或其延长线分别相交于,已知
(1)求证:⊥平面
(2)求二面角的大小。
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)证明见解析。
(2)
(1)证明:依题设,的中位线,所以
∥平面,所以
的中点,所以,则
因为
所以⊥面,则
因此⊥面
(2)作,连。因为⊥平面

根据三垂线定理知,
就是二面角的平面角。
,则,则的中点,则
,由得,,解得
中,,则,
所以,故二面角
解法二:(1)以直线分别为轴,建立空间直角坐标系,


所以
所以
所以平面
,故:平面
(2)由已知

共线得:存在
 
同理:

是平面的一个法向量,
 
是平面的一个法量

所以二面角的大小为

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