(本小题满分12分)如图所示,在正三棱柱中,底面边长为,侧棱长为,是棱的中点.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求二面角的大小;(Ⅲ)求点到平面的距离.-数学

题目简介

(本小题满分12分)如图所示,在正三棱柱中,底面边长为,侧棱长为,是棱的中点.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求二面角的大小;(Ⅲ)求点到平面的距离.-数学

题目详情

(本小题满分12分)
如图所示,在正三棱柱中,底面边长为,侧棱长为是棱的中点.

 

 
(Ⅰ)求证:平面

(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)求点到平面的距离.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

解:(Ⅰ) 连结交于
的中点,的中点,的中位线,//. 又平面平面//平面………………4分
(Ⅱ)(解法1)过,由正三棱柱的性质可知,
平面,连结,在正中,
在直角三角形中,
由三垂线定理的逆定理可得.则为二面角的平面角,
又得

.故所求二面角的大小为.………………8分
解法(2)(向量法)

建立如图所示空间直角坐标系,则



是平面的一个法向量,则可得
,所以
可得
又平面的一个法向量
又知二面角是锐角,所以二面角 的大小是……………………………………………………………………8分
(Ⅲ)设求点到平面的距离;因,所以,故,而………………10分
……………12分

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