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> 本题满分15分)如图,在矩形中,点分别在线段上,.沿直线将翻折成,使平面.(Ⅰ)求二面角的余弦值;(Ⅱ)点分别在线段上,若沿直线将四边形向上翻折,使与重合,求线段的长。-数学
本题满分15分)如图,在矩形中,点分别在线段上,.沿直线将翻折成,使平面.(Ⅰ)求二面角的余弦值;(Ⅱ)点分别在线段上,若沿直线将四边形向上翻折,使与重合,求线段的长。-数学
题目简介
本题满分15分)如图,在矩形中,点分别在线段上,.沿直线将翻折成,使平面.(Ⅰ)求二面角的余弦值;(Ⅱ)点分别在线段上,若沿直线将四边形向上翻折,使与重合,求线段的长。-数学
题目详情
本题满分15分)如图,在矩形
中,点
分别
在线段
上,
.沿直线
将
翻折成
,使平面
.
(Ⅰ)求二面角
的余弦值;
(Ⅱ)点
分别在线段
上,若沿直线
将四
边形
向上翻折,使
与
重合,求线段
的长。
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
,
(Ⅰ)解:取线段EF的中点H,连结
,因为
=
及H是EF的中点,所以
,
又因为平面
平面
.
如图建立空间直角坐标系A-xyz
则
(2,2,
),C(10,8,0),
F(4,0,0),D(10,0,0).
故
=(-2,2,2
),
=(6,0,0).
设
=(x,y,z)为平面
的一个法向量,
-2x+2y+2
z=0
所以
6x=0.
取
,则
。
又平面
的一个法向量
,
故
。
所以二面角的余弦值为
(Ⅱ)解:设
则
,
因为翻折后,
与
重合,所以
,
故,
,得
,
经检验,此时点
在线段
上,
所以
。
方法二:
(Ⅰ)解:取线段
的中点
,
的中点
,连结
。
因为
=
及
是
的中点,
所以
又因为平面
平面
,
所以
平面
,
又
平面
,
故
,
又因为
、
是
、
的中点,
易知
∥
,
所以
,
于是
面
,
所以
为二面角
的平面角,
在
中,
=
,
=2,
=
所以
.
故二面角
的余弦值为
。
(Ⅱ)解:设
,
因为翻折后,
与
重合,
所以
,
而
,
得
,
经检验,此时点
在线段
上,
所以
。
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在线段
将
(Ⅰ)求二面角
(Ⅱ)点
边形
的长。
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又因为平面
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则
F(4,0,0),D(10,0,0).
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6x=0.
取
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故
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故,
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所以
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所以
在
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