本题满分15分)如图,在矩形中,点分别在线段上,.沿直线将翻折成,使平面.(Ⅰ)求二面角的余弦值;(Ⅱ)点分别在线段上,若沿直线将四边形向上翻折,使与重合,求线段的长。-数学

题目简介

本题满分15分)如图,在矩形中,点分别在线段上,.沿直线将翻折成,使平面.(Ⅰ)求二面角的余弦值;(Ⅱ)点分别在线段上,若沿直线将四边形向上翻折,使与重合,求线段的长。-数学

题目详情



本题满分15分)如图,在矩形中,点分别
在线段上,.沿直线
翻折成,使平面. 
(Ⅰ)求二面角的余弦值;
(Ⅱ)点分别在线段上,若沿直线将四
边形向上翻折,使重合,求线段
的长。
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)解:取线段EF的中点H,连结,因为=及H是EF的中点,所以,


又因为平面平面.
如图建立空间直角坐标系A-xyz
(2,2,),C(10,8,0),
F(4,0,0),D(10,0,0).   
=(-2,2,2),=(6,0,0).
=(x,y,z)为平面的一个法向量,
       -2x+2y+2z=0
所以
6x=0.
,则
又平面的一个法向量

所以二面角的余弦值为
(Ⅱ)解:设
因为翻折后,重合,所以
故,,得
经检验,此时点在线段上,
所以
方法二:
(Ⅰ)解:取线段的中点,的中点,连结
因为=的中点,
所以
又因为平面平面
所以平面,
平面,

又因为的中点,
易知
所以
于是
所以为二面角的平面角,
中,==2,=
所以.
故二面角的余弦值为
(Ⅱ)解:设,
因为翻折后,重合,
所以

 

经检验,此时点在线段上,
所以

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