(本题12分)如图,斜三棱柱的底面是直角三角形,,点在底面上的射影恰好是的中点,且.(Ⅰ)求证:平面平面;(Ⅱ)求证:;(Ⅲ)求二面角的大小.-高三数学

题目简介

(本题12分)如图,斜三棱柱的底面是直角三角形,,点在底面上的射影恰好是的中点,且.(Ⅰ)求证:平面平面;(Ⅱ)求证:;(Ⅲ)求二面角的大小.-高三数学

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(本题12分)如图,斜三棱柱的底面是直角三角形,,点在底面上的射影恰好是的中点,且
(Ⅰ)求证:平面平面
(Ⅱ)求证:
(Ⅲ)求二面角的大小.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)证明:设的中点为.
在斜三棱柱中,点在底面上的射影恰好是的中点,
平面ABC.        ……………………1分
平面
.              ……………………2分

.

平面.      ……………………3分
平面
平面平面.                         ………………4分
解法一:(Ⅱ)连接平面
是直线在平面上的射影.         ………………5分
四边形是菱形.
.                  .                   ……………6分
(Ⅲ)过点于点,连接

平面.   .
是二面角的平面角.            …………9分
,则
.

.   .
平面平面..
中,可求.∵,∴.
.
.        ……………………………………10分
.
∴二面角的大小为.            ………………12分
解法二:(Ⅱ)因为点在底面上的射影是的中点,设的中点为,则平面ABC.以为原点,过平行于的直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
,由题意可知,.设,由,得
.
.
.
.                                             ……………………6分
(Ⅲ)设平面的法向量为.


.
设平面的法向量为.则

.                          
.                     ……………………10分
二面角的大小为.       ………………………………12分

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