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(本小题满分12分)如图,在棱长为1的正方体中,AP=BQ=b(0<b<1),截面PQEF∥,截面PQGH∥.(Ⅰ)证明:平面PQEF和平面PQGH互相垂直;(Ⅱ)证明:截面PQEF和截面
题目简介
(本小题满分12分)如图,在棱长为1的正方体中,AP=BQ=b(0<b<1),截面PQEF∥,截面PQGH∥.(Ⅰ)证明:平面PQEF和平面PQGH互相垂直;(Ⅱ)证明:截面PQEF和截面
题目详情
(本小题满分12分)如图,在棱长为1的正方体
中,
AP=BQ=b
(0<
b
<1),截面
PQEF
∥
,截面
PQGH
∥
.
(Ⅰ)证明:平面
PQEF
和平面
PQGH
互相垂直;
(Ⅱ)证明:截面
PQEF
和截面
PQGH
面积之和是定值,
并求出这个值;
(Ⅲ)若
,求
与平面
PQEF
所成角的正弦值.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(Ⅰ)同解析(Ⅱ)截面
PQEF
和截面
PQGH
面积之和为
,是定值.(Ⅲ)
.
解法一:
(Ⅰ)证明:在正方体中,
,
,
又由已知可得
,
,
,
所以
,
,
所以
平面
.
所以平面
和平面
互相垂直. 4分
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知
,又截面
PQEF
和截面
PQGH
都是矩形,且
PQ
=1,所以截面
PQEF
和截面
PQGH
面积之和是
,是定值. 8分
(Ⅲ)解:设
交
于点
,连结
,
因为
平面
,
所以
为
与平面
所成的角.
因为
,所以
分别为
,
,
,
的中点.
可知
,
.
所以
. 12分
解法二:
以
D
为原点,射线
DA
,
DC
,
DD
′分别为
x
,
y
,
z
轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系
D
-
xyz
.由已知得
,故
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
(Ⅰ)证明:在所建立的坐标系中,可得
,
,
.
因为
,所以
是平面
PQEF
的法向量.
因为
,所以
是平面
PQGH
的法向量.
因为
,所以
,
所以平面
PQEF
和平面
PQGH
互相垂直. 4分
(Ⅱ)证明:因为
,所以
,又
,所以
PQEF
为矩形,同理
PQGH
为矩形.
在所建立的坐标系中可求得
,
,
所以
,又
,
所以截面
PQEF
和截面
PQGH
面积之和为
,是定值. 8分
(Ⅲ)解:由(Ⅰ)知
是平面
的法向量.
由
为
中点可知,
分别为
,
,
的中点.
所以
,
,因此
与平面
所成角的正弦值等于
. 12分
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(Ⅱ)证明:截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值,
并求出这个值;
(Ⅲ)若
答案
(Ⅰ)证明:在正方体中,
又由已知可得
所以
所以
所以平面
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知
(Ⅲ)解:设
因为
所以
因为
可知
所以
解法二:
以D为原点,射线DA,DC,DD′分别为x,y,z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D-xyz.由已知得
(Ⅰ)证明:在所建立的坐标系中,可得
因为
因为
因为
所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直. 4分
(Ⅱ)证明:因为
在所建立的坐标系中可求得
所以
所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为
(Ⅲ)解:由(Ⅰ)知
由
所以