18.(本小题满分14分)如图5,四边形是圆柱的轴截面,点在圆柱的底面圆周上,是的中点,圆柱的底面圆的半径,侧面积为,.(1)求证:;(2)求二面角的平面角的余弦值.-高三数学

题目简介

18.(本小题满分14分)如图5,四边形是圆柱的轴截面,点在圆柱的底面圆周上,是的中点,圆柱的底面圆的半径,侧面积为,.(1)求证:;(2)求二面角的平面角的余弦值.-高三数学

题目详情

18.(本小题满分14分)

如图5,四边形是圆柱的轴截面,点在圆柱的底面圆周上,的中点,圆柱的底面圆的半径,侧面积为
(1)求证:
(2)求二面角的平面角的余弦值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

. (本小题满分分)
(本题考查空间的线面关系、二面角、空间向量及坐标运算、圆柱的侧面积、余弦定理等知识,考查数形结合、化归转化的数学思想和方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)
解:(1)(解法一):由题意可知 ,
解得  ,                                       …………
中,,      …………
∴ 
又 ∵的中点,
.    ①                                 …………
为圆的直径,
∴ .
由已知知 
∴ 
∴  .                    …………
∴ .      ②
∴ 由①②可知:
∴ .                          …………
(2)由(1)知: ,

是二面角的平面角 .      …………
, , .
.
 .   ………
(解法二):建立如图所示的直角坐标系,
由题意可知.
解得.                    
 ,
的中点,
∴ 可求得.      …………
(1)
.
  ∵
∴ .           …………
(2)由(1)知,, 
,   .                           
.
是平面的法向量.                                    …………
是平面的法向量,

解得                                       …………
.
所以二面角的平面角的余弦值.            …………

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