如图,在正三棱锥中,底面边长是2,D是BC的中点,M在BB1上,且.(1)求证:;(2)求三棱锥的体积;(3)求二面角的余弦值.-高三数学

题目简介

如图,在正三棱锥中,底面边长是2,D是BC的中点,M在BB1上,且.(1)求证:;(2)求三棱锥的体积;(3)求二面角的余弦值.-高三数学

题目详情

如图,在正三棱锥中,底面边长是2,D是BC的中点,M在BB1上,且.

(1)求证:;      
(2)求三棱锥的体积;
(3)求二面角的余弦值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)略;(2);(3)
(1)证明:连接,交于点连接,则的中位线,,又,.
(2)在正三棱锥中,的中点,则,从而AD⊥MC,又CM⊥AC1,则CM和面ADC1内的两条相交直线AD,AC1都垂直,,于是,则互余,则互为倒数,易得,连B1D,,,三棱锥的体积为.
(3)过D作DH⊥AC,垂足为H,过H在面内作,垂足为G,易证是二面角的平面角,在中,,,在中,
方法2:以为坐标原点,轴,建立空间直角坐标系,设,则,,,,,设平面的法向量,则
.
(2),.平面的法向量为到平面的距离.
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(3)由(2)知平面的法向量为,取的中点为,所以面的法向量为,设二面角的平面角为,则.

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