已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数m,n都有f(m+n)=f(m)+f(n)+12,且f(12)=0,当x>12时,f(x)>0.(1)求f(1);(2)求和f(1)+f(2)+…+f(n)(n

题目简介

已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数m,n都有f(m+n)=f(m)+f(n)+12,且f(12)=0,当x>12时,f(x)>0.(1)求f(1);(2)求和f(1)+f(2)+…+f(n)(n

题目详情

已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数m,n都有f(m+n)=f(m)+f(n)+
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,且f(
1
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)=0
,当x>
1
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时,f(x)>0.
(1)求f(1);
(2)求和f(1)+f(2)+…+f(n)(n∈N*);
(3)判断函数f(x)的单调性并证明.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)f(1)=f(class="stub"1
2
)+f(class="stub"1
2
)+class="stub"1
2
=0+0+class="stub"1
2
=class="stub"1
2
,(2分)
(2)∵f(2)=f(1)+f(1)+class="stub"1
2
=3×class="stub"1
2

f(3)=f(2)+f(1)=5×class="stub"1
2
,…
f(n)=(2n-1)×class="stub"1
2

∴f(1)+f(2)+…+f(n)=class="stub"1
2
(1+3+5+…(2n-1))=class="stub"1
2
n2(7分)
(3)f(x)=( 2x-1)×class="stub"1
2
=x-class="stub"1
2
,在其定义域内是增函数,
证明:设  a<b,f(b)-f(a)=(b-class="stub"1
2
)-(a-class="stub"1
2
)=b-a,由题设知,b-a>0,
∴f(b)-f(a)>0,f(b),>f(a),∴f(x)在其定义域内是增函数.

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