首页 > 设函数f（x）的定义域、值域均为R，f（x）的反函数为f-1（x），且对任意实数x，均有f(x)+f-1(x)＜52x，定义数列an：a0=8，a1=10，an=f（an-1），n=1，2，…．（1）

设函数f（x）的定义域、值域均为R，f（x）的反函数为f-1（x），且对任意实数x，均有f(x)+f-1(x)＜52x，定义数列an：a0=8，a1=10，an=f（an-1），n=1，2，…．（1）

题目简介

设函数f（x）的定义域、值域均为R，f（x）的反函数为f-1（x），且对任意实数x，均有f(x)+f-1(x)＜52x，定义数列an：a0=8，a1=10，an=f（an-1），n=1，2，…．（1）

题目详情

设函数f（x）的定义域、值域均为R，f（x）的反函数为f-1（x），且对任意实数x，均有f(x)+f-1(x)＜
5
2
x，定义数列an：a0=8，a1=10，an=f（an-1），n=1，2，…．
（1）求证：an+1+an-1＜
5
2
an(n=1，2，…)；
（2）设bn=an+1-2an，n=0，1，2，…．求证：bn＜(-6)(
1
2
)n（n∈N*）；
（3）是否存在常数A和B，同时满足①当n=0及n=1时，有an=
A•4n+B
2n
成立；②当n=2，3，…时，有an＜
A•4n+B
2n
成立．如果存在满足上述条件的实数A、B，求出A、B的值；如果不存在，证明你的结论．
题型：解答题难度：中档来源：海淀区二模

答案

（1）∵f(x)+f-1(x)＜class="stub"5
2
x，令x=an，∴f(an)+f-1(an)＜class="stub"5
2
an．
即an+1+a n-1＜class="stub"5
2
an．
（2）∵an+1＜class="stub"5
2
an-an-1，∴an+1-2an＜class="stub"1
2
(an-2an-1)，
即bn＜class="stub"1
2
bn-1．∵b0=a1-2a0=-6，
∴bn＜class="stub"1
2
bn-1＜(class="stub"1
2
)2bn-2＜…＜(class="stub"1
2
)nb0=(-6)(class="stub"1
2
)n（n∈N*）．
（3）由（2）可知：an+1＜2an+(-6)(class="stub"1
2
)n，
假设存在常数A和B，使得an=
A•4n+B
2n
对n=0，1成立，
则
a0=A+B=8
a1=class="stub"4A+B
2
=10
，解得A=B=4．
下面用数学归纳法证明an＜
4×4n+4
2n
对一切n≥2，n∈N成立．
1°当n=2时，由an+1+an-1＜class="stub"5
2
an，得a2＜class="stub"5
2
a1-a0=class="stub"5
2
×10-8=17=
4×42+4
22
，
∴n=2时，an＜
4×4n+4
2n
成立．
2°假设n=k（k≥2），不等式成立，即ak＜
4×4k+4
2k
，
则ak+1＜2ak+(-6)(class="stub"1
2
)k＜
8×4k+8
2k
+class="stub"-6
2k
=
8×4k+2
2k
=
4×4k+1+4
2k+1

即是说当n=k+1时，不等式也成立．
所以存在A，B，且A=B=4．

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