是否存在常数a、b、c使等式1•（n2-12）+2（n2-22）+…+n（n2-n2）=an4+bn2+c对一切正整数n成立？证明你的结论．-数学

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是否存在常数a、b、c使等式1•（n²-1²）+2（n²-2²）+…+n（n²-n²）=an⁴+bn²+c对一切正整数n成立？证明你的结论．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

分别用n=1，2，3代入解方程组

a+b+c=0

16a+4b+c=3

81a+9b+c=18

⇒

a=class="stub"1

b=-class="stub"1

c=0.

下面用数学归纳法证明．
（1）当n=1时，由上可知等式成立；
（2）假设当n=k时，等式成立，
则当n=k+1时，左边=1•[（k+1）2-12]+2[（k+1）2-22]+…+k[（k+1）2-k2]+（k+1）[（k+1）2-（k+1）2]
=1•（k2-12）+2（k2-22）++k（k2-k2）+1•（2k+1）+2（2k+1）+…+k（2k+1）
=class="stub"1

k4+（-class="stub"1

）k2+（2k+1）+2（2k+1）++k（2k+1）
=class="stub"1

（k+1）4-class="stub"1

（k+1）2．
∴当n=k+1时，等式成立．
由（1）（2）得等式对一切的n∈N*均成立．

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