（湖北理21）（本小题满分14分）已知m，n为正整数.（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x>-1时，(1+x)m≥1+mx；（Ⅱ）对于n≥6，已知，求证，m=1,1,2…，n；（Ⅲ）求出满足等式3n+4

题目简介

题目详情

（湖北理21）（本小题满分14分）
已知m，n为正整数.
（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x>-1时，(1+x)^m≥1+mx；
（Ⅱ）对于n≥6，已知

，求证

，m=1,1,2…，n；
（Ⅲ）求出满足等式3ⁿ+4^m+…+(n+2)^m=(n+3)ⁿ的所有正整数n.

题型：解答题难度：偏易来源：不详

答案

见解析

（Ⅲ）假设存在正整数

成立，
即有（

）+

＝1.　　②
又由（Ⅱ）可得
（

）+

与②式矛盾，
故当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n.
故只需要讨论n=1,2,3,4,5的情形；
当n=1时，3≠4，等式不成立；
当n=2时，32+42＝52，等式成立；
当n=3时，33+43+53＝63，等式成立；
当n=4时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，故34+44+54+64≠74,等式不成立；
当n=5时，同n=4的情形可分析出，等式不成立.
综上，所求的n只有n=2,3.

上一篇 : x+y+z=1，则2x2+3y2+z2的最小值
下一篇 : 已知函数f（x）=x-sinx，数列{an}满

（湖北理21）（本小题满分14分）已知m，n为正整数.（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x&gt;-1时，(1+x)m≥1+mx；（Ⅱ）对于n≥6，已知，求证，m=1,1,2…，n；（Ⅲ）求出满足等式3n+4

题目简介

题目详情

答案

更多内容推荐

（湖北理21）（本小题满分14分）已知m，n为正整数.（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x>-1时，(1+x)m≥1+mx；（Ⅱ）对于n≥6，已知，求证，m=1,1,2…，n；（Ⅲ）求出满足等式3n+4