如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点，(1)若F为AA1的中点，求证：EF∥平面DD1C1C；(2)若F为AA1的中点，求二面角A-EC-D1的余弦值；(3)若F在AA1上运

题目简介

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AB的中点，
(1)若F为AA₁的中点，求证：EF∥平面DD₁C₁C；
(2)若F为AA₁的中点，求二面角A-EC-D₁的余弦值；
(3)若F在AA₁上运动(F与A，A₁不重合)，求当半平面D₁EF与半平面ADE成的角时，线段A₁F与FA的比。

题型：解答题难度：中档来源：广东省模拟题

解：(1)如图①，连接A1B，因为E为AB的中点，F为AA1的中点，所以EF∥A1B，又A1B∥D1C，所以EF∥D1C，因为EF平面DD1C1C，D1C平面DD1C1C，所以EF∥平面DD1C1C。
(2)设二面角A-EC-D1的大小为θ，设正方体的棱长为2，由(1)知F，D1，C，E四点共面，且四边形EFD1C为等腰梯形，又，所以，所以二面角A-EC-D1的余弦值为。
(3)建立如图②所示的坐标系，设正方体的棱长为2，AF=x(0＜x＜2)，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，E(2，1，0)，D1(0，0，2)，F(2，0，x)，因为DD1⊥平面ADE，所以取为平面ADE的法向量，设平面D1EF的法向量为n=(x1，y1，z1)，因为(0，-1，x)，所以，取z1=2，则n=(2-x，2x，2)，因为半平面D1EF与半平面ADE成的角，所以，，解得，即，所以线段A1F与FA的比为。