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> 设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知an+1=2Sn+2()(1)求数列{an}的通项公式;(2)在an与an+1之间插入n个数,使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列,①在数列{dn}中是否
设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知an+1=2Sn+2()(1)求数列{an}的通项公式;(2)在an与an+1之间插入n个数,使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列,①在数列{dn}中是否
题目简介
设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知an+1=2Sn+2()(1)求数列{an}的通项公式;(2)在an与an+1之间插入n个数,使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列,①在数列{dn}中是否
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设等比数列{a
n
}的前n项和为S
n
.已知a
n+1
=2S
n
+2(
)
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)在a
n
与a
n+1
之间插入n个数,使这n+2个数组成一个公差为d
n
的等差数列,
①在数列{d
n
}中是否存在三项d
m
,d
k
,d
p
(其中m,k,p成等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的三项,若不存在,说明理由;
②求证:
.
题型:解答题
难度:偏难
来源:不详
答案
(1)
(2)见解析
试题分析:
(1)利用Sn与an之间的关系
,即可得到关于an+1,an的递推式,证明an为等比数列,且可以知道公比,当n=1时,可以得到a1与a2之间的关系,在根据an等比数列,可以消掉a2得到首项的值,进而得到通项公式.
(2)根据等差数列公差与项之间的关系(
),可以得到
,带入an得到dn的通项公式.
①假设存在,dm,dk,dp成等比数列,可以得到关于他们的等比中项式子,把dn的通项公式带入计算可以得到
,则m,k,p既成等差数列也是等比数列,所以三者相等,与数列{dn}中是否存在三项dm,dk,dp(不相等)矛盾,所以是不存在的.
②利用(2)所得求出
的通项公式,再利用错位相减可以求得
,利用不等式的性质即可得到
证明原式.
试题解析:
(1)由
,
可得:
,
两式相减:
. 2分
又
,
因为数列
是等比数列,所以
,故
.
所以
. 4分
(2)由(1)可知
,
因为:
,故:
. 6分
①假设在数列
中存在三项
(其中
成等差数列)成等比数列,
则:
,即:
,
(*) 8分
因为
成等差数列,所以
,
(*)可以化简为
,故
,这与题设矛盾.
所以在数列
中不存在三项
(其中
成等差数列)成等比数列.10分
②令
,
,
11分
两式相减:
13分
. 14分
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已知对于任意的自然数n,抛物线
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已知数列的前项和为,且,;数列中,点
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(1)求数列{an}的通项公式;
(2)在an与an+1之间插入n个数,使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列,
①在数列{dn}中是否存在三项dm,dk,dp(其中m,k,p成等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的三项,若不存在,说明理由;
②求证:
答案
试题分析:
(1)利用Sn与an之间的关系
(2)根据等差数列公差与项之间的关系(
①假设存在,dm,dk,dp成等比数列,可以得到关于他们的等比中项式子,把dn的通项公式带入计算可以得到
②利用(2)所得求出
试题解析:
(1)由
可得:
两式相减:
又
因为数列
所以
(2)由(1)可知
因为:
①假设在数列
则:
因为
(*)可以化简为
所以在数列
②令
两式相减: