如图(1),在三角形ABC中,AB⊥AC,若AD⊥BC,则AB2=BD.BC;若类比该命题,如图(2),三棱锥A-BCD中,AD⊥面ABC,若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M,则有什么结论?命题

题目简介

如图(1),在三角形ABC中,AB⊥AC,若AD⊥BC,则AB2=BD.BC;若类比该命题,如图(2),三棱锥A-BCD中,AD⊥面ABC,若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M,则有什么结论?命题

题目详情

如图(1),在三角形ABC中,AB⊥AC,若AD⊥BC,则AB2=BD.BC;若类比该命题,如图(2),三棱锥A-BCD中,AD⊥面ABC,若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M,则有什么结论?命题是否是真命题.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

命题是:三棱锥A-BCD中,AD⊥面ABC,若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M,
则有S△ABC2=S△BCM•S△BCD是一个真命题.
证明如下:
在图(2)中,连接DM,并延长交BC于E,连接AE,则有DE⊥BC.
因为AD⊥面ABC,所以AD⊥AE.
又AM⊥DE,所以AE2=EM•ED.
于是S△ABC2=(class="stub"1
2
BC•AE)
2
(class="stub"1
2
BC•EM)•(class="stub"1
2
BC•ED)
=S△BCM•S△BCD.
故有S△ABC2=S△BCM•S△BCD

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