四位同学在研究函数f（x）=x1+|x|（x∈R）时，分别给出下面四个结论：①函数f（x）的值域为（-1，1）；②若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；③f（x）是连续且递增的函数，但f（0）

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四位同学在研究函数f（x）=

1+|x|

（x∈R）时，分别给出下面四个结论：
①函数f（x）的值域为（-1，1）；
②若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）；
③f（x）是连续且递增的函数，但f（0）不存在；
④若规定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，则f_n（x）=

1+n|x|

对任意n∈N^*恒成立，
上述四个结论中正确的是______．

题型：填空题难度：偏易来源：不详

答案

①当x＞0时，f(x)=class="stub"x

1+x

=class="stub"1+x-1

1+x

=1-class="stub"1

1+x

，此时函数为增函数，所以0＜1-class="stub"1

1+x

＜1，即0＜y＜1．
当x＜0时，f(x)=class="stub"x

1-x

(x-1)+1

1-x

=-1+class="stub"1

1-x

=-1-class="stub"1

x-1

，此时函数为增函数，所以-1＜-1+class="stub"1

1-x

＜0，即-1＜y＜0．
当x=0时，f（x）=0．
综上-1＜f（x）＜1，即函数f（x）的值域为（-1，1）．所以①正确．
②由①知函数f（x）单调递增，所以当x1≠x2时，则一定有f（x1）≠f（x2），所以②正确．
③当x=0时，f（0）=0，所以③错误．
④f1（x）=f（x）=class="stub"x

1+|x|

，f2（x）=f[f1（x）]=class="stub"x

1+2|x|

，同理可求，f3（x）=class="stub"x

1+3|x|

，由归纳推理可得fn（x）=class="stub"x

1+n|x|

对任意n∈N*恒成立，
所以④正确．
故答案为：①②④．

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四位同学在研究函数f（x）=x1+|x|（x∈R）时，分别给出下面四个结论：①函数f（x）的值域为（-1，1）；②若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；③f（x）是连续且递增的函数，但f（0）

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