已知0<α<π2<β<π且sin(α+β)=513,tanα2=12.(1)求cosα的值;(2)证明:sinβ>513.-数学

题目简介

已知0<α<π2<β<π且sin(α+β)=513,tanα2=12.(1)求cosα的值;(2)证明:sinβ>513.-数学

题目详情

已知0<α<
π
2
<β<π且sin(α+β)=
5
13
,tan
α
2
=
1
2

(1)求cosα的值;
(2)证明:sinβ
5
13
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)将tanclass="stub"α
2
=class="stub"1
2
代入tanα=
2tnclass="stub"α
2
1-tan2class="stub"α
2
得:tanα=class="stub"4
3
(4分)
所以
class="stub"sinα
cosα
=class="stub"4
3
sin2α+cos2α=1
,又α∈(0,class="stub"π
2
),
解得cosα=class="stub"3
5
.(6分)
(2)证明:∵0<α<class="stub"π
2
<β<π,
class="stub"π
2
<α+β<class="stub"3π
2
,又sin(α+β)=class="stub"5
13

所以cos(α+β)=-class="stub"12
13
,(8分)
由(1)可得sinα=class="stub"4
5
,(10分)
所以sinβ=sin[(α+β)-α]=class="stub"5
13
×class="stub"3
5
-(-class="stub"12
13
)×class="stub"4
5
=class="stub"63
65
class="stub"5
13
.(14分)

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