对集合A,如果存在x0使得对任意正数a,都存在x∈A,使0<|x-x0|<a,则称x0为集合A的“聚点”,给出下列四个集合:①{nn+1|n∈Z,n≥0};②{x∈R|x≠0};③{1n|n∈Z,n≠

题目简介

对集合A,如果存在x0使得对任意正数a,都存在x∈A,使0<|x-x0|<a,则称x0为集合A的“聚点”,给出下列四个集合:①{nn+1|n∈Z,n≥0};②{x∈R|x≠0};③{1n|n∈Z,n≠

题目详情

对集合A,如果存在x0使得对任意正数a,都存在x∈A,使0<|x-x0|<a,则称x0为集合A的“聚点”,给出下列四个集合:
{
n
n+1
|n∈Z,n≥0}

②{x∈R|x≠0};
{
1
n
|n∈Z,n≠0}

④Z.
其中以0为“聚点”的集合是(  )
A.②③B.①②C.①③D.②④
题型:单选题难度:偏易来源:不详

答案

①令f(n)=class="stub"n
n+1
,则f(n+1)-f(n)=class="stub"n+1
n+2
-class="stub"n
n+1
=class="stub"1
(n+1)(n+2)
>0
,即f(n)=class="stub"n
n+1
当n∈N时单调递增,则1为其“聚点”,下面给出证明:
取x0=1,对任意正数a,要使0<|class="stub"n
n+1
-1|=|class="stub"1
n+1
|<a
成立,只要取正整数n=[class="stub"1
a
-1]+2
,故1是其“聚点”;
②由实数的稠密性可知:对任意正数a,都存在x=class="stub"a
2
∈{x∈R|x≠0},使0<|x-0|<a成立,故0是此集合的“聚点”;
③∵class="stub"1
n+1
=1-class="stub"n
n+1
,由(1)可知:0为集合{class="stub"1
n
|n∈Z,n≠0
},根据“聚点”的定义可知,0是其聚点;
④∀n∈Z,且n≠0,则|n|≥1,故取0<a<1,则不存在x∈Z,使0<|x-x0|<a成立,根据“聚点”的定义可知:所给集合不存在聚点.
综上可知:只有②③正确;
故选A.

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