有下列五种说法:①函数y=f(-x+2)与y=f(x-2)的图象关于y轴对称;②函数y=(12)x2+2x的值域是[2,+∞);③若函数f(x)=log2|x|(a>0,a≠1)在(0,+∞)上单调递

题目简介

有下列五种说法:①函数y=f(-x+2)与y=f(x-2)的图象关于y轴对称;②函数y=(12)x2+2x的值域是[2,+∞);③若函数f(x)=log2|x|(a>0,a≠1)在(0,+∞)上单调递

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有下列五种说法:
①函数y=f(-x+2)与y=f(x-2)的图象关于y轴对称;
②函数y=(
1
2
)x2+2x
的值域是[2,+∞);
③若函数f(x)=log2|x|(a>0,a≠1)在(0,+∞)上单调递增,则f(-2)>f(a+1);
④若f(x)=
(3a-1)x+4a,(x<1)
logax,(x≥1)
是(-∞,+∞)上的减函数,则a的取值范围是(0,
1
3
);
⑤设方程 2-x=|lgx|的两个根为x1,x2,则  0<x1x2<1.
其中正确说法的序号是______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

由f(-x+2)=f[-(x-2)],所以函数y=f(-x+2)的图象是把函数y=f(-x)的图象向右平移2个单位得到的,
y=f(x-2)的图象是把y=f(x)的图象向右平移2个单位得到的,而y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴轴对称,
所以,函数y=f(-x+2)与y=f(x-2)的图象关于直线x=2对称.所以,命题①错误;
令x2+2x=t,则函数函数y=(class="stub"1
2
)x2+2x
化为y=(class="stub"1
2
)t
,又t=x2+2x=(x+1)2-1≥-1,
0<(class="stub"1
2
)t≤2
,即函数y=(class="stub"1
2
)x2+2x
的值域是(0,2].所以命题②错误;
函数f(x)=loga|x|(a>0,a≠1)在(0,+∞)上单调递增,因为t=|x|在(0,+∞)上单调递增,所以,
函数y=logat也在(0,+∞)上单调递增,则a>1,a+1>2.又因为函数f(x)=log2|x|是偶函数,
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所以f(-2)=f(2),则f(-2)=f(2)<f(a+1).所以,命题③错误;
由f(x)=
(3a-1)x+4a,(x<1)
logax,(x≥1)
是(-∞,+∞)上的减函数,则
3a-1<0
0<a<1
(3a-1)+4a≥loga1

解得:class="stub"1
7
≤a<class="stub"1
3
.所以,命题④错误;
y1=2-x,y2=|lgx|,
在平面直角坐标系中作出这两个函数的图象如图,
不妨设A点的横坐标为x1,B点的横坐标为x2,则x1<1<x2,
class="stub"1
2x1
=|lgx1|=-lgx1
,得lgx1=-class="stub"1
2x1

lgx2=|lgx2|=class="stub"1
2x2
,得:lgx1x2=lgx1+lgx2=class="stub"1
2x2
-class="stub"1
2x1
=
2x1-2x2
2x12x2
<0.
所以,0<x1x2<1.所以,命题⑤正确.
故答案为⑤.

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