已知函数f（x），若f（x）=x，则称x为f（x）的“不动点”；若f（f（x））=x，则称x为f（x）的“稳定点”．记集合A={x|f（x）=x}，B={x|f（f（x））=x}（1）已知A≠∅，若f

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已知函数f（x），若f（x）=x，则称x为f（x）的“不动点”；若f（f（x））=x，则称x为f（x）的“稳定点”．记集合A={x|f（x）=x}，B={x|f（f（x））=x}
（1）已知A≠∅，若f（x）是在R上单调递增函数，是否有A=B？若是，请证明．
（2）记|M|表示集合M中元素的个数，问：（i）若函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），若|A|=0，则|B|是否等于0？若是，请证明，（ii）若|B|=1，试问：|A|是否一定等于1？若是，请证明．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）证明：有A=B．先证
任取x0∈A，则f（x0）=x0，f（f（x0））=f（x0）=x0，
∴x0∈B，∴A⊆B；
再证任取y0∈B，f（f（y0））=y0，
若f（y0）≠y0，不妨设f（y0）＞y0，
由单调递增可知：f（f（y0））＞f（y0）＞y0，与f（f（y0））=y0矛盾，
同理f（y0）＜y0也矛盾，所以f（y0）=y0，∴B⊆A，
综上，A=B．
（2）（i）若|A|=0，则|B|=0，下面证明：
若a＞0，由于f（x）=x无实根，则对任意实数x，f（x）＞x，从而f（f（x））＞f（x）＞x，
故f（f（x））=x无实根；
同理，若a＜0，对任意实数x，f（x）＜x，从而f（f（x））＜f（x）＜x，
故f（f（x））=x也无实根，
所以|B|=0．
（ii）若|B|=1，则|A|=1，下面证明：
存在性：不妨设x0是B中唯一元素，则f（f（x0））=x0，
令f（x0）=t，f（t）=x0，那么f（f（t））=f（x0），而f（x0）=t，故f（f（t））=t，说明t也是f（f（x））的不动点，
由于f（f（x））只有唯一的不动点，故x0=t，即f（t）=t，这说明t也是f（x）的不动点，从而存在性得证；
以下证明唯一性：若f（x）还有另外一个不动点m，即f（m）=m，m≠t，
则f（f（m））=f（m）=m，这说明f（f（x））还有另外一个稳定点m与题设矛盾．
故唯一性得证．

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已知函数f（x），若f（x）=x，则称x为f（x）的“不动点”；若f（f（x））=x，则称x为f（x）的“稳定点”．记集合A={x|f（x）=x}，B={x|f（f（x））=x}（1）已知A≠∅，若f

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